Что нужно знать для разрешения парадокса бесконечного отеля? Теория множеств - 7

30 June 2020
3,4k full reads
2,5 min.
6k story viewsUnique page visitors
3,4k read the story to the endThat's 57% of the total page views
2,5 minutes — average reading time

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!

Что нужно знать для разрешения парадокса бесконечного отеля? Теория множеств - 7

В прошлом материале я рассказывал про парадокс бесконечного отеля. Тогда я обещал дать теоретическую основу, которая поможет разрешить его. Итак, встречайте материал про мощность множеств. Это уже 7-ая часть моего курса по теории множеств (ознакомьтесь, если еще не читали его). Поехали!

Что такое мощность множества ?

Мощность множества - это действительно удивительное понятие из мира математики. Поняв его, вы узнаете, что сравнивать можно не только множества из конечного числа элементов, но и бесконечные. Более того и среди бесконечных множеств существуют более и менее "мощные".

Источник: https://24smi.org/public/media/resize/660x-/celebrity/2017/12/20/ymdb0nsndrjt-kardinal-rishele.jpg
Источник: https://24smi.org/public/media/resize/660x-/celebrity/2017/12/20/ymdb0nsndrjt-kardinal-rishele.jpg
Источник: https://24smi.org/public/media/resize/660x-/celebrity/2017/12/20/ymdb0nsndrjt-kardinal-rishele.jpg

Мощность на английском языке читается как cardinality. Поэтому вместо мощности множества часто употребляют кардинальное число множества.

Разговор о нём обычно начинают с такого мысленного эксперимента:

Как понять, кого больше в комнате: стульев или находящихся в ней людей, не пересчитывая их?

Самым логичным решением будет сопоставление: нужно попросить каждого человека занять стул. В итоге мы получим либо свободные стулья, либо оставшихся стоять людей. С точки зрения теории множеств мы попытались произвести биекцию - однозначное сопоставление множества людей и множества стульев.

Данный пример имеет ключевое значение для понимания мощности бесконечных множеств: если возможна биекция бесконечного множества стульев и бесконечного множества людей, мы можем заключить, что эти бесконечные множества равны или по-другому "равномощны".

Вот небольшой пример: множество натуральных чисел n равномощно множеству квадратов этих натуральных чисел:

Операция отображения
Операция отображения
Операция отображения

Действительно, каждому натуральному числу мы можем однозначно сопоставить его квадрат : 2 -4, 7 - 49, 90 - 8100 и так далее до бесконечности. Отсюда делается вывод, что указанные множества равномощны.

Возникает резонный вопрос: если между бесконечными множествами можно поставить знак равенства, то можно ли для других бесконечных множеств поставить знак больше или меньше? Но обо всём по порядку.

Свойство равномощности множеств (конечных и бесконечных)

Существует три основных свойства:

  1. Отношение равномощности симметрично: если множество А равномощно множеству В, то верно и обратное утверждение.
  2. Отношение равномощности рефлексивно: каждое множество равномощно самому себе.
  3. Отношение равномощности транзитивно: если множество А равномощно множеству В, а множество В равномощно множеству С, то множество А равномощно множеству С.

Счетные множества

Определение. Счетными множествами называются бесконечные множества, равномощные множеству натуральных чисел. Иначе говоря, если мы можем "занумеровать" элементы исходного множества, используя 1,2,3 и т.д, то оно является счетным.

Счетные множества - самые "маленькие" из бесконечных множеств. Их принято обозначать следующим образом:

Что нужно знать для разрешения парадокса бесконечного отеля? Теория множеств - 7

Чтобы показать, что множество счётное, надо выписать все его элементы по одному разу таким образом, чтобы не пропустить ни один элемент. Например, вот так можно показать, что множество целых чисел Z (если забыли, что это за множество, читайте этот материал) - счетное и равномощно множеству натуральных чисел:

Насчет "натуральности" 0 позиции математиков разнятся
Насчет "натуральности" 0 позиции математиков разнятся
Насчет "натуральности" 0 позиции математиков разнятся

Мы очевидным образом занумеровали все целые числа: дело в шляпе!

Первым свойством счетных множеств является тот факт, что их сложение или прямое произведение также является счётным множеством.

Иными словами, сложение алефа-ноль с алефом-ноль будет равно алефу-ноль.

Второе свойство еще более важное: в каждом бесконечном счетном множестве есть подмножество той же мощности. Звучит странно, но если взять множество натуральных чисел и его подмножество четных натуральных чисел, то они равномощны!

Невероятно, но факт!
Невероятно, но факт!
Невероятно, но факт!

Может показаться, что часть равна целому! Ох уж эти бесконечности!

Из текста материала становится ясно, что существуют и бОльшие бесконечные множества, такие как "алеф-один" и т.д. Такие множества называются "несчетными". О них мы поговорим в следующем материале: пока что мы изучили достаточно информации, чтобы полностью разрешить парадокс бесконечного отеля.

*******************************************

Спасибо за прочтение, разрешение парадокса будет в следующем материале! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием.

Первый урок по теории множеств.

Путеводитель по каналу "Математика не для всех"

******************************************