Что такое бесконечно малое число ? Красивейший математический этюд

15k full reads
20k story viewsUnique page visitors
15k read the story to the endThat's 74% of the total page views
2,5 minutes — average reading time

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Понятие бесконечно малого прочно вошло в обиход математического анализа еще в 18 веке, когда Готфрид Лейбниц в своих работах впервые использовал обозначение "dx". Но что он подразумевал под этим, как вообще можно определить что-то бесконечно малое?

Расскажу Вам о гениальном ходе, который перевернул стандартный математический анализ с ног на голову и стал отправным этапом для создания нового, инфинитезимального (нестандартного) анализа. Поехали!

Источник: https://projectvox.org/wp-content/uploads/2018/10/PE12_leibniz_denkmal_photo_hähnel_w1883_t1646_wikimedia_commons-943x1024.jpg
Источник: https://projectvox.org/wp-content/uploads/2018/10/PE12_leibniz_denkmal_photo_hähnel_w1883_t1646_wikimedia_commons-943x1024.jpg
Источник: https://projectvox.org/wp-content/uploads/2018/10/PE12_leibniz_denkmal_photo_hähnel_w1883_t1646_wikimedia_commons-943x1024.jpg

Введение

Как можно подобраться к бесконечно малому числу? Для начала стоит произвести рекогносцировку и понять, где вообще существуют числа. Принято говорить, что все вещественные числа образуют поле - алгебраическую структуру, на которой определен ряд математических операций, которые при их применении, не выводят результат за рамки поля. Т.е. если два числа вещественные (например, 3,23 и -1/2), то и их сумма, их произведение, их обратные и противоположные элементы - суть элементы того же поля вещественных чисел.

Данное определение не претендует на строгость, но важно для понимания сути дальнейшего изложения.

Важным свойством поля вещественных чисел является выполнимость в нём аксиомы Архимеда:

Если имеются две отрезка a и b, причем a меньше b, то взяв a некоторое количество раз можно превзойти b.
Что такое бесконечно малое число ? Красивейший математический этюд

Вместо а можно взять число, например, единицу. Тогда любое вещественное число можно превзойти конечной суммой 1+1+1...+1, реализуя придуманный еще древнегреческим математиком Евдоксом метод исчерпываний.

Подходы к "бесконечной малости"

Первое определение, которое приходит на ум, когда речь идет о бесконечно малой величине - это ноль. Однако, это не так интересно, ведь нам хотелось бы найти такое число, которое ближе всех остальных к нулю на вещественной оси.

Что такое бесконечно малое число ? Красивейший математический этюд

Попытавшись задать ε как некое число, меньшее любого из вещественных, мы придём к бесконечной цепочке. Ведь, при рассмотрении поля, мы можем тогда вычислить и его элемент "ε/2" и т.д., которые будут еще меньше.

Таким образом в стандартном математическом анализе, понятие бесконечно малого - это некая цепочка, последовательность, имеющая предел, но не конкретное число!

Но есть интуитивный выход, результаты которого, Вы видели в каждом учебнике физики:

Здесь мы оперируем неким бесконечно малым изменением объема газа dV - конкретным, но очень маленьким числом, близким к нулю. Источник: http://900igr.net/up/datas/136682/023.jpg
Здесь мы оперируем неким бесконечно малым изменением объема газа dV - конкретным, но очень маленьким числом, близким к нулю. Источник: http://900igr.net/up/datas/136682/023.jpg
Здесь мы оперируем неким бесконечно малым изменением объема газа dV - конкретным, но очень маленьким числом, близким к нулю. Источник: http://900igr.net/up/datas/136682/023.jpg

С этой точки зрения бесконечно малое число можно определить диаметрально противоположно. Пусть ε - некая величина. Начнём последовательно вычислять суммы: ε+ε, ε+ε+ε, ε+ε+ε+...ε и т.д.. Если окажется, что для любой конечной суммы будет выполняться неравенство ε+ε+ε+...ε < 1, такую величину определим как актуальное бесконечно малое число.

Слово "актуальное" здесь помогает нам отделить понятия бесконечно малого, как элемента последовательности, предела функций и т.д. до бесконечно малого, которое можно "пощупать".

Отличное определение! Но постойте, этим самым мы нарушили кое-что важное, а именно аксиому Архимеда для поля вещественных чисел. Действительно, если взять отрезок длиной ε, то, сколько не укладывай его друг за другом, сумма не сможет покрыть даже отрезок единичной длины!

Добавлю, что бесконечно большое число определяется как 1/ε
Добавлю, что бесконечно большое число определяется как 1/ε
Добавлю, что бесконечно большое число определяется как 1/ε

Что же получается? А то, что в поле вещественных чисел такого бесконечно малого ε существовать не может, ведь важнейшая аксиома для такого числа не выполняется, а значит оно не является вещественным.

Что же делают математики? Они расширяют поле вещественных чисел, добавляя в него новые элементы и получают поле уже гипервещественных чисел, в котором бесконечностями можно играть хоть и как песчинками, но вполне осязаемыми и реальными! Для этих чисел и создается новая область знаний - нестандартный (инфинитезимальный) анализ!