Что такое перестановка и подстановка? Абстрактная алгебра на уровне начальной школы

23 June 2020
1,8k full reads
2 min.
2,9k story viewsUnique page visitors
1,8k read the story to the endThat's 62% of the total page views
2 minutes — average reading time

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!

Когда-то очень давно мы уже говорили о комбинаторике: о сочетаниях, размещениях и перестановках. В той статье мы заходили с позиции определения факториала, сегодня же отправной точкой нашего пути будет являться абстрактная алгебра - мощное и красивое направление современной математики, которое, к сожалению, не в той же степени всем известно, насколько широко применяется. Поехали!

Что такое перестановка

Под перестановкой в математике понимаются все возможные способы, которыми некоторые элементы можно выстроить в ряд.

Ясно, что для одного элемента такое построение будет одно. Для двух элементов, например, 1 и 2 - уже два построения (12 и 21), для трех, например 1,2,3 - уже шесть построений - 123, 132, 213, 231, 312, 321 и так далее. В общем случае количество перестановок в ряду из n элементов равно n!=1*2*3*...*n.

Что такое подстановка

Под подстановкой в математике понимают операцию, изменяющую порядок элементов в перестановке.

Запомнить различие поможет просто мнемоническое правило: перестановки - способы, подстановки - операции.

Приведу небольшой пример:

На рисунке проведена подстановка которая перевела перестановку 1234 в перестановку 3241. Однако, такая форма записи достаточно громоздкая, поэтому подстановки в математике обозначают следующим образом:

Перестановка переводит 1 в 3, 4 в 2, 3 в 4, 2 в 1.
Перестановка переводит 1 в 3, 4 в 2, 3 в 4, 2 в 1.
Перестановка переводит 1 в 3, 4 в 2, 3 в 4, 2 в 1.

Сама подстановка не зависит от порядка записи пар "исходный элемент - новый элемент". Например, в примере выше можно элементы исходной перестановки расположить по номерам (1 в 3, 2 в 4, 3 в 2, 4 в 1), тогда перестановка запишется вот так:

Чтобы конкретнее понять, когда подстановки равны, надо запомнить два правила :

1. Области определения подстановок совпадают: т.е. подстановки содержат одни и теж элементы (в приведенном примере - это 1,2,3,4).

2. Алгоритм подстановки - один и тот же. Каждый элемент, принадлежащий совместной области определения , обе подстановки переводят в один и тот же элемент.

Еще парочка примеров:

Две перестановки ниже различны, хоть и ведут к одинаковым перестановкам.

Дело в том, что в первой подстановке цифра 4 переходит в 1, а во второй 4 переходит в 4. Таким образом, алгоритм перестановок не совпадает.

Очевидно, что перестановки выше не совпадают, так как имеют разные области определения.

Приведенная выше запись вообще не является подстановкой, так как переводит два различных элемента 1 и 4 в один и тот же элемент 4, что недопустимо.

Источник: https://www.diyrenovationsonline.com.au/wp-content/uploads/2019/01/iStock_000018480179_Medium.jpg
Источник: https://www.diyrenovationsonline.com.au/wp-content/uploads/2019/01/iStock_000018480179_Medium.jpg
Источник: https://www.diyrenovationsonline.com.au/wp-content/uploads/2019/01/iStock_000018480179_Medium.jpg

На этом сегодня всё. Если Вы думаете, что более бесполезной и тривиальной статьи по математике никогда не читали, то Вы глубоко ошибаетесь! Перестановки и подстановки - это самые первые "кирпичики" всеобъемлющей теории групп - универсального аппарата для изучения математических объектов широчайшего класса!

**************************************************************************

Путеводитель по каналу "Математика не для всех"

Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием.

**************************************************************************

А пока что почитайте курс теории множеств в шести уроках.