Что такое вещественные числа? Вспомним всё, что забыто из школьной математики!

3 July 2020
6,5k full reads
12k story viewsUnique page visitors
6,5k read the story to the endThat's 52% of the total page views
3 minutes — average reading time

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!

В одном из прошлых материалов я начал подробно рассказывать о том, какие бывают числа: начал, естественно, с натуральных, рассказал про целые и рациональные. Если Вы, к сожалению, забыли, что это такое, рекомендую перед прочтением освежить память. Готовы? Тогда поехали!

Это картинка из предыдущего материала, которая показывает, какие числа выделяют в математике.
Это картинка из предыдущего материала, которая показывает, какие числа выделяют в математике.
Это картинка из предыдущего материала, которая показывает, какие числа выделяют в математике.

Прогресс человечества всегда был тесно связан с математикой. Сначала древние люди научились считать - таким образом в обиход вошли натуральные числа - 1, 2, 3 и т.д. После этого люди научились делить - и математики привнесли рациональные числа - 1/2, 3/4 и т.д..

Однако была такая задача, не дававшая древним (конкретно древним грекам) покоя. Дело в том, у ученых мужей не получалось выразить диагональ квадрата со стороной 1 через рациональные числа.

Это сейчас для каждого человека, освоившего школьный курс математики, ясно, что диагональ квадрата равна корню из 2. А для древних греков всё было не так однозначно.

Гиппас из Метапонта первым осмелился предположить, что диагональ такого квадрата не является рациональным числом, за что, по некоторым данным, его изгнали соратники-пифагорейцы, как нарушившего доктрину "натуральности всех чисел".

Тот самый Гиппас
Тот самый Гиппас
Тот самый Гиппас

Пойдем по пути древних греков

Как доказывается иррациональность числа корень из 2 ? Да очень просто.

Кстати, после прочтения поделите 99 на 70. Вам понравится!
Кстати, после прочтения поделите 99 на 70. Вам понравится!
Кстати, после прочтения поделите 99 на 70. Вам понравится!

Во-первых, важно отметить, что m и n не имеют общих делителей, иначе бы дробь можно было сократить. Во-вторых, одно из чисел как минимум нечетное (если бы были два четных, их можно было бы сократить минимум на 2). Вот, чтобы стало понятнее:

У пар 99 и 70, 5 и 7 нет чисел, на которые бы они одновременно делились. Эти числа называются взаимно простыми.
У пар 99 и 70, 5 и 7 нет чисел, на которые бы они одновременно делились. Эти числа называются взаимно простыми.
У пар 99 и 70, 5 и 7 нет чисел, на которые бы они одновременно делились. Эти числа называются взаимно простыми.

Действуем дальше, возведем в квадрат наше равенство-предположение:

Очевидным образом понятно, что m^2 - четное число, ведь справа в множителе перед n цифра 2. Более того, из четности квадрата m следует и четность самого m! (любое четное число в квадрате само четное) Т.е. число m можно представить в виде m=2k! Подставляем:

А теперь смотрите: из последнего равенство следует, что n - тоже четное число! Возвращаемся в самое начало и вспоминаем, что из чисел m и n хотя бы одно должно быть нечетным (иначе можно сокращать). Мы пришли к противоречию и доказали методами 5 класса фундаментальное свойство числа корень из 2. Поздравляю!

Так, с корнем из 2 разобрались, а остальные ?

На самом деле между "первым прикосновением" математиков к вещественным числам и формированием их настоящей, продуманной теории прошло около 2000 лет (!!!). Вещественными числами, как таковыми, мы обязаны Ньютону, Дедекинду, Коши, Вейерштрассу, Больцано, Кантору и многим другим.

1, -1 , 1/2 - тоже вещественные числа, как е и Пи.  Множество вещественных чисел обозначается буквоподобным символом R.
1, -1 , 1/2 - тоже вещественные числа, как е и Пи. Множество вещественных чисел обозначается буквоподобным символом R.
1, -1 , 1/2 - тоже вещественные числа, как е и Пи. Множество вещественных чисел обозначается буквоподобным символом R.

Самым оптимальным и простым определением вещественных чисел, будет использование геометрического подхода. Согласно нему, каждой точке на числовой прямой можно сопоставить вещественное число, а каждому вещественному числу - точку на прямой.

Вещественные числа (иногда их называют действительные) делятся на два больших класса: рациональные (представимые, как отношение натурального и целого m/n) и иррациональные (как корень из 2).

Вообще, доказано, что корень из любого натурального числа является либо натуральным числом, либо иррациональным.
Вообще, доказано, что корень из любого натурального числа является либо натуральным числом, либо иррациональным.
Вообще, доказано, что корень из любого натурального числа является либо натуральным числом, либо иррациональным.

Вещественные числа, несмотря на кажущуюся простоту, - это невероятно тонкая субстанция. До сих пор не ясно, отражают ли они природу мироздания: дискретно наше пространство-время или континуально (непрерывно)? Я думаю у моих читателей найдется много мнений по этому поводу.

Однако, не успели математики 18-19 веков справиться с теорией вещественных чисел, как на горизонте замаячила еще более серьезная проблема: что делать с корнями из отрицательных величин? Об этом в следующем выпуске! Пока что можете почитать про трансцендентные числа!

**************************************************************************

Путеводитель по каналу "Математика не для всех"

Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием. ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.

**************************************************************************