Дискриминант, каким Вы его никогда не видели. Что на самом деле скрывает это понятие
Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу рассказать о том, чем Вы прекрасно пользовались в средней школе - о дискриминанте.
Для кого-то, я уверен, будет культурным шоком тот факт, что дискриминант существует не только для квадратного трехчлена, а привычная всем формула - лишь частный случай более глубокого явления.
Пьер Жозеф Прудон - автор фразы "Разделяй и властвуй". Дискриминант (от лат. «разбираю», «различаю») как раз и позволяет разделять корни многочленов и манипулировать им. Источник: https://images.fineartamerica.com/images-medium-large-5/pierre-joseph-proudhon-1809-1865-prisma-archivo.jpg
Пьер Жозеф Прудон - автор фразы "Разделяй и властвуй". Дискриминант (от лат. «разбираю», «различаю») как раз и позволяет разделять корни многочленов и манипулировать им. Источник: https://images.fineartamerica.com/images-medium-large-5/pierre-joseph-proudhon-1809-1865-prisma-archivo.jpg
Итак, поехали!
Конечно, у дискриминанта есть и другое (первичное) определение, но в данном случае я хочу показать связь с результантом. Дискриминант - это симметричное выражение относительно корней исходного многочлена. Удивительно то, что коэффициенты дискриминанта - ВСЕГДА целые числа.
Конечно, у дискриминанта есть и другое (первичное) определение, но в данном случае я хочу показать связь с результантом. Дискриминант - это симметричное выражение относительно корней исходного многочлена. Удивительно то, что коэффициенты дискриминанта - ВСЕГДА целые числа.
Формула выше определяет дискриминант для многочлена f, который зависит от его степени, а также результанта самого многочлена и его производной.
При чем тут производная, можно спросить? Для многочлена f(x) естественно сформулировать такой вопрос: когда f имеет кратные корни? Алгоритмический ответ ясен.
Надо найти наибольший общий делитель многочлена f и его производной f' . Если он является многочленом не нулевой степени, то f имеет кратные корни.
А результант, как я писал в прошлом материале, предназначен для ответа на вопрос: есть ли у двух многочленов равные корни?
Напомню способ построения результанта для двух многочленов
Напомню способ построения результанта для двух многочленов
Итак, давайте перейдем к примеру. Вычислим дискриминант квадратного трехчлена новым для нас способом:
Записываем матрицу Сильвестра и вычисляем её определитель:
Ничего сложного
Ничего сложного
Теперь осталось подставить результант в формулу для дискриминанта и получить ответ:
Если дискриминант равен нулю, то многочлен имеет кратные корни
Если дискриминант равен нулю, то многочлен имеет кратные корни
Мы получили знакомую всем с детства формулу. Такие же манипуляции можно провернуть и получить, например, дискриминанты приведенных уравнений 3-ей и 4-ой степени:
Дальнейшие манипуляции с дискриминантом позволяют определить, имеет или нет произвольный многочлен корни, например, в поле вещественных чисел.
А зачем вообще нужны все эти обобщения на многочлены произвольный степеней?
Дело в том, что, например, общее определение дискриминанта используется для вычисления эквидистант - линий, равноудаленных от заданной:
В теории САПР эквидистантой принято называть линию, равноотстоящую от обрабатываемого контура детали на расстояние, равное радиусу режущего инструмента. В металлообработке, например, эквидистанта может описывать траекторию движения центра фрезы относительно контура обрабатываемой поверхности, а в системах автоматического раскроя ткани — припуск на шов. Источник: http://pev.vatvrn.ru/Posob_prog/Progr_M_DEMO/U2_kontur/ekvidistanta.jpg
В теории САПР эквидистантой принято называть линию, равноотстоящую от обрабатываемого контура детали на расстояние, равное радиусу режущего инструмента. В металлообработке, например, эквидистанта может описывать траекторию движения центра фрезы относительно контура обрабатываемой поверхности, а в системах автоматического раскроя ткани — припуск на шов. Источник: http://pev.vatvrn.ru/Posob_prog/Progr_M_DEMO/U2_kontur/ekvidistanta.jpg
Эквидистанты имеют и очевидный физический смысл. Если предположить, что каждая точка кривой является источником излучения, то эквидистанта представляет собой волновой фронт! Так что не спешите нас хоронить! Спасибо за внимание!
Если Вам понравился данный материал, поддержите его лайком, а канал - подпиской.
TELEGRAM иFacebook- там я публикую не только интересные статьи, но иматематический юмор и многое другое.
