Эта удивительная константа есть почти в каждом числе, но таких чисел всё равно мало. Как так получается?

7 August 2020
5,4k full reads
2,5 min.
11k story viewsUnique page visitors
5,4k read the story to the endThat's 46% of the total page views
2,5 minutes — average reading time
Активируйте ПРОМОКОД mathematic25 для LITRES.RU до 31.08 и получите скидку 25% на весь каталог электронных книг. 

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!

Продолжаю рассказывать про удивительные константы из мира чисел. Так или иначе в моём блоге уже затрагивались такие константы как постоянная Фейгенбаума, число Эйлера, число Фидия. Сегодня речь пойдет о числе, существование которого доказал советский математик Александр Яковлевич Хинчин. Оно интересно тем, что встречается почти всюду, но это "почти всюду" математически эквивалентно "почти нигде". Как так получается ? Попробую объяснить. Поехали!

Источник: http://www.ras.ru/ph/ras/5/5369.jpg
Источник: http://www.ras.ru/ph/ras/5/5369.jpg
Источник: http://www.ras.ru/ph/ras/5/5369.jpg

Теорема Хинчина

Формулировка: для почти каждого вещественного числа элементы разложения его в цепную дробь имеют конечное среднее геометрическое, не зависящее от самого числа, и равное постоянной Хинчина K = 2, 685452.

Начну с пояснения, что такое среднее геометрическое и цепная дробь:

Среднее геометрическое двух чисел равно квадратному корню из произведения, трех чисел - кубическому корню и т.д.

Считаем, что математический ликбез закончен и продолжаем. Важный факт из теории цепных дробей состоит в том, что и любая последовательность натуральных чисел, записанная в дроби соответствует какому-то вещественному числу.

А теперь внимание, оцените факт!

Хотя теорема Хинчина верна почти для всякого вещественного числа, она не доказана практически ни для какого конкретного числа, кроме тех, которые специальным образом сконструированы, чтобы удовлетворять теореме.

Как строится такое число? Например, берем бесконечную цепную дробь со случайным количеством четверок в первых элементах разложения.

После первых десяти элементов мы начинаем записывать либо 2, либо 3 в зависимости от того, чему равняется среднее геометрическое. В итоге приближаемся к постоянной Хинчина и получаем число, удовлетворяющее утверждению.
После первых десяти элементов мы начинаем записывать либо 2, либо 3 в зависимости от того, чему равняется среднее геометрическое. В итоге приближаемся к постоянной Хинчина и получаем число, удовлетворяющее утверждению.
После первых десяти элементов мы начинаем записывать либо 2, либо 3 в зависимости от того, чему равняется среднее геометрическое. В итоге приближаемся к постоянной Хинчина и получаем число, удовлетворяющее утверждению.

Таких вариантов разложения - бесконечное количество. С другой стороны известно, что условию не удовлетворяет ни одно рациональное число, ни одна квадратичная иррациональность (корни любого квадратного уравнения) и даже постоянная Эйлера.

Красным цветом - среднее геометрическое элементов разложения числа Эйлера, синим цветом - квадратный корень из 31, зеленым - число sin1 (его среднее геометрическое вроде как сходится к постоянной Хинчина, но это не доказано), желтым цветом - число из примера выше. Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0b/Geometric_means_of_continued_fractions_to_Khinchin_constant.svg/480px-Geometric_means_of_continued_fractions_to_Khinchin_constant.svg.png
Красным цветом - среднее геометрическое элементов разложения числа Эйлера, синим цветом - квадратный корень из 31, зеленым - число sin1 (его среднее геометрическое вроде как сходится к постоянной Хинчина, но это не доказано), желтым цветом - число из примера выше. Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0b/Geometric_means_of_continued_fractions_to_Khinchin_constant.svg/480px-Geometric_means_of_continued_fractions_to_Khinchin_constant.svg.png
Красным цветом - среднее геометрическое элементов разложения числа Эйлера, синим цветом - квадратный корень из 31, зеленым - число sin1 (его среднее геометрическое вроде как сходится к постоянной Хинчина, но это не доказано), желтым цветом - число из примера выше. Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0b/Geometric_means_of_continued_fractions_to_Khinchin_constant.svg/480px-Geometric_means_of_continued_fractions_to_Khinchin_constant.svg.png

Читатели моего канала немного знают теорию множеств, а конкретно вопросы, связанные с их мощностью (статья). Так вот, несмотря на то, что чисел, не удовлетворяющих утверждению Хинчина бесконечно много, их всё равно на языке теории множеств "меньше", чем чисел, которые мы можем построить, чтобы удовлетворить утверждению.

Дело в том, что мощность множества, которое мы можем специально построить, континуально, в то время как множество, для элементов которого доказано, что они не удовлетворяют теореме, счётно. Это и дает нам право утверждать, что теорема Хинчина верна почти всюду.

Однако, есть и знакомые нам числа, которые вроде бы сходятся к постоянной Хинчина, например, число Пи.

Для первых 25 элементов разложения. Однако в пределе равенство не доказано.
Для первых 25 элементов разложения. Однако в пределе равенство не доказано.
Для первых 25 элементов разложения. Однако в пределе равенство не доказано.

(Барабанная дробь) Даже для самой константы Хинчина в пределе не доказано, что она удовлетворяет теореме! Неизвестно, рациональна ли она, неизвестно алгебраична ли она! Но, между тем, она везде...ну почти везде.

Розыгрыш в честь скорых 5000 подписчиков

Ссылка на группу в контакте

Удивительная вещь - эта математика! А как Вам кажется ?

Читайте мой материал про самые красивую математическую картину

Путеводитель по каналу "Математика не для всех" - здесь собрано больше 100 статей на самые разнообразные темы: как для новичков, так и для более начитанных математиков!
Второй проект - канал "Русский язык не для всех"

Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием. ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.

**************************************************************************