Этих задач в школе боялся даже закоренелый отличник

25 May

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграмм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы.

Кому-то в школе сложно давалась тригонометрия, кому-то - интегралы и производные, но был раздел математики, который не только требовал иногда нестандартного мышления, но и очень слабо освещался в школьном курсе математики. "И что?" - скажете Вы - "Мало ли чего в школьной математике не рассказывали?". Вся загвоздка в том, что эти задачи ВСЕГДА появлялись в части С ЕГЭ и продолжают появляться сейчас, хоть уже и под другим шифром. Речь идет об уравнениях и неравенствах с параметрами.

В чем их сложность?

Во-первых, среднестатистическому школьнику бывает очень трудно понять условие задачи. Например, как начинать решение задачи, в условии которой сказано, например:

  • решить уравнение при каком-то a (при всех а);
  • найти все а, для которого уравнение имеет корни (не имеет корней, имеет ровно четыре действительных корня);
  • при каких а существует такое в, что неравенство выполнено для одного х (любого х)?
  • при каких а уравнения равносильны?
  • и т.д. и т.п.

Во-вторых, уравнения и неравенства с параметрами треуеют очень осторожного обращения с областью определения функций, областью допустимых значений и преобразованиями, которые могут их изменять, в результате чего множество найденных решений будет меньше или больше реального.

В-третьих, решение задач с параметрами требует почти что фундаментальных знаний математики, часто общетеоретических, умения представлять вид функций, определять их возрастание/убывание. Например, некоторые простые уравнения с параметрами, содержащие квадратные трехчлены не решаются без знаний того, как расположена парабола относительно осей координат, корней трехчлена, некоторых чисел и т.д.

Всё это требует именно ВЛАДЕНИЯ материалом: т.е. не способности точно воспроизвести алгоритмы решения какой-либо задачи, а думать логически и шаг за шагом идти к ответу. Всё это к сожалению с трудом дается многим школьникам.

НО НЕ ВСЁ ТАК СТРАШНО!

Для примера рассмотрим простейшее уравнение с параметрами, решение которого я объясню максимально понятно.

Задача. Найти все значения а, при которых сумма квадратов корней квадратного представленного ниже уравнения равна 10.

Начнем с простого, так как квадратный трехчлен имеет однозначный вид, необходимо выразить коэффициенты при его членах:

Здесь напомню, что a в формуле, где указан вид квадратного трехчлена, это не то а, что мы ищем в решении. Просто именно так принято записывать вид квадратного трехчлена.
Здесь напомню, что a в формуле, где указан вид квадратного трехчлена, это не то а, что мы ищем в решении. Просто именно так принято записывать вид квадратного трехчлена.

Чтобы уравнение имело корни, необходимо, чтобы дискриминант квадратного трехчлена (здесь я писал, как он выводится) был больше либо равен 0.

В условии сказано про сумму квадратов корней уравнения. Т.е. нигде не сказано, что корней должно быть именно два. Поэтому знак нестрогий.

Теперь в дело вступает теорема ВИЕТА (вот здесь подробно о ней).

Теперь надо вспомнить условия, ограничивающее а:

ОТВЕТ : a=-4.

Как вам пример? Я думаю, можно переходить к более сложным задачам!

Отлично подготовиться к решению задач с параметрами Вам поможет чудесная книга "Математика абитуриенту" (пример как раз оттуда)

Путеводитель по каналу "Математика не для всех"

************************************************************************

Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием.

**************************************************************************

Список материалов для начинающего математика: