Гипервещественные числа, которые перевернули понятие бесконечности

17 January
13k full reads
2,5 min.
21k story viewsUnique page visitors
13k read the story to the endThat's 65% of the total page views
2,5 minutes — average reading time

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу рассказать Вам про числа, с которыми не математики, наверное, никогда не сталкивались. Речь пойдет о гипервещественных числах - расширении знакомого всем поля вещественных чисел, обладающим рядом интересных свойств. Поехали!

Источник: https://anband.spb.ru/images/600/DSC100637792.jpg
Источник: https://anband.spb.ru/images/600/DSC100637792.jpg
Источник: https://anband.spb.ru/images/600/DSC100637792.jpg

Начнём с такого примера: каким образом можно представить любое вещественное число? Очевидно, в общем виде вот так:

Функция пола и функция выделения дробной части
Функция пола и функция выделения дробной части
Функция пола и функция выделения дробной части

Этой записью я хотел показать, что целая часть вещественного является натуральным числом и представима как сумма единиц. Более того, если добавить еще одну единицу, то можно превзойти число 7,34. Отмечу, что в поле вещественных чисел это возможно для любого числа: даже число Грэма можно описать как сумму меньших его чисел, а в некоторый момент превзойти. Такое свойство позволяет нам называть поле вещественных чисел архимедовым.

Создатель нестандартного анализа - Абрахам Робинсон. Источник: https://www.jewage.org/w/images/1/1f/I0953076635.jpg
Создатель нестандартного анализа - Абрахам Робинсон. Источник: https://www.jewage.org/w/images/1/1f/I0953076635.jpg
Создатель нестандартного анализа - Абрахам Робинсон. Источник: https://www.jewage.org/w/images/1/1f/I0953076635.jpg
Но есть ли число А, что даже взяв невероятно огромную, но конечную сумму 1+1+1...+1 мы никогда не сможем превзойти А ?

Есть. Именно с именно такими гипервещественными числами работает, сформировавшийся при их изучении нестандартный (инфинитезимальный) анализ.

Главное отличие

гипервещественных чисел в том, что среди них существуют бесконечно малые и бесконечно большие числа, причем существуют не как пределы неких функций или последовательностей (как в стандартном анализе), а как обычные рядовые элементы поля.

Первым, кто стал пользоваться нестандартным анализом, был Лейбниц. Впрочем, он сам этого не подозревал, а скорее ощущал. В своём труде "Новый метод.." он впервые ввёл обозначение dx, как актуальной бесконечно малой величины.

Поле гипервещественных чисел получается расширение поля вещественных такими числами, которые больше любого числа, представимого через сумму 1+1+1...+1 (обратные им, напротив, меньше любого 1/(1+1+1...+1). Как Вы уже поняли, такое поле называется неархимедовым.

Структура гипервещественных чисел.
Структура гипервещественных чисел.
Структура гипервещественных чисел.

Отрицательные и положительные бесконечные числа меньше или больше любого из конечных. Остальные делятся на конечные обычные вещественные и конечные нестандартные. Пример последнего - это 1+ε, где ε - бесконечно малое число.

Эпсилон (бесконечно малое) находится где-то между 0 и 1.
Эпсилон (бесконечно малое) находится где-то между 0 и 1.
Эпсилон (бесконечно малое) находится где-то между 0 и 1.

Для каждого конечного гипервещественного числа можно ввести определение стандартной части и представление в виде:

Стандартная часть - это привычные нам вещественные числа
Стандартная часть - это привычные нам вещественные числа
Стандартная часть - это привычные нам вещественные числа

Придумать, как говориться, можно что угодно, но логика предписывает нам проверять "совместимость с предыдущими версиями" математики. В 1961 Робинсон доказал, что никаких противоречий при добавлении актуальных бесконечно малых и больших величин не происходит. Иначе говоря, гипервещественные числа так или иначе сводятся к вещественным и имеют похожие свойства.

Уникальность доказательства непротиворечивости гипервещественных чисел еще и в том, что стало ясно, почему математики 18 века, оперируя непринятыми в стандартном анализе бесконечностями, все равно получали верные результаты: иначе быть не могло !

В следующей статье я уже рассказал, что такое бесконечно малое эпсилон с простыми формулами и рисунками. Сегодня, я думаю, хватит. Спасибо за внимание!

Subscribe to channel
and don't miss new publications
Don't miss new
publications