38 499 subscribers

Главный принцип теории множеств, в который сначала не верил даже её отец - Георг Кантор

5,6k full reads

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Давненько не было на канале этюдов, касающихся преподобной матери математики - теории множеств (кто читал "Дюну", наверняка поняли отсылку).

Сегодня я хочу предложить Вам головоломку, в которой скрыто одно из ключевых утверждений этой области знаний. Поехали!

Главный принцип теории множеств, в который сначала не верил даже её отец - Георг Кантор
Главный принцип теории множеств, в который сначала не верил даже её отец - Георг Кантор

Итак, пусть в круге есть 1000 черных точек и одна белая. Определите, чего больше: треугольников с вершинами в черных точках или четырехугольников, у которых одна вершина белая, а остальные три - черные. Выглядит это вот так:

Главный принцип теории множеств, в который сначала не верил даже её отец - Георг Кантор
Главный принцип теории множеств, в который сначала не верил даже её отец - Георг Кантор

Визуально кажется (во всяком случае по рисунку), что треугольников явно больше, ведь они не привязаны к одной-единственной белой точке, но наблюдение обманчиво.

Действительно, давайте рассмотрим каждый из четырехугольников, образованных белой точкой:

Главный принцип теории множеств, в который сначала не верил даже её отец - Георг Кантор
Главный принцип теории множеств, в который сначала не верил даже её отец - Георг Кантор

Оказывается, что каждому четырехугольнику соответствует ровно один треугольник, образованный его остальными черными вершинами, а значит их равное количество.

Только что Вы видели графическую формулировку одного из главных принципов теории множеств:

Если между двумя множествами можно установить взаимно-однозначное соответствие, то в них одинаковое количество элементов.

Взаимно-однозначно - значит каждому элементу первого множества соответствует ровно один элемент второго, и наоборот.

Галилео Галилей. Источник: https://avatars.mds.yandex.net/get-zen_doc/1348874/pub_5faa26473b7ff25f30d8b76f_5faa27bb3b7ff25f30da555c/scale_1200
Галилео Галилей. Источник: https://avatars.mds.yandex.net/get-zen_doc/1348874/pub_5faa26473b7ff25f30d8b76f_5faa27bb3b7ff25f30da555c/scale_1200

Замечательно, что данный принцип действует и тогда, когда множество содержит бесконечное множество элементов. Один из первых в мировой науке случаев нахождения такого "парадоксального" соответствия принадлежит Галилео Галилею.

Главный принцип теории множеств, в который сначала не верил даже её отец - Георг Кантор
Главный принцип теории множеств, в который сначала не верил даже её отец - Георг Кантор

Сопоставив ряд натуральных чисел и последовательные полные квадраты, Галилей фактически образовал между ними взаимно-однозначное соответствие.

Главный принцип теории множеств, в который сначала не верил даже её отец - Георг Кантор
Главный принцип теории множеств, в который сначала не верил даже её отец - Георг Кантор

Следовательно, хоть и полные квадраты сильнее "раскиданы" по числовой оси, их всё равно ровно столько же, сколько и всех натуральных чисел.

Такие множества, каждый элемент которых можно сопоставить натуральному числу, называются счетными бесконечными.

Если в описанном выше случае никаким парадоксом совсем и не пахнет, то дальше история закрутилась в новый узел уже с несчетными множествами.

Источник: https://live.staticflickr.com/8740/16707492627_9fed12c86d_b.jpg
Источник: https://live.staticflickr.com/8740/16707492627_9fed12c86d_b.jpg

Георг Кантор установил взаимно-однозначное соответствие между отрезком и квадратом. Результат, полученный немцем, оказался настолько парадоксальным, что в письме к другому апологету теории множеств Рихарду Дедекинду, он прямо написал:

"Как мне кажется, на этот вопрос следует ответить утвердительно, хотя и на протяжении многих лет я придерживался противоположного мнения"

Об этом удивительном факте так же читайте в моём блоге:

  • TELEGRAM и Facebook - там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.