Изящное решение непростой системы уравнений

31 May 2020
2,6k full reads
2 min.
5,2k story viewsUnique page visitors
2,6k read the story to the endThat's 50% of the total page views
2 minutes — average reading time

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграмм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы.

Снова попалась мне в руки замечательная книжка, которую еще в школе я использовал для подготовки к экзаменами и олимпиадам.

Кстати, вот эта книга на Яндекс.Маркете. Рекомендую к ознакомлению!

В книге представлено огромное количество примеров и задач на любой вкус. Сегодня покажу нетривиальное решение системы уравнений. Для тех, у кого есть эта книга - Урок №12. Задача 18.

Главная загвоздка данной системы уравнений - это третья степень одной из переменных, убрать которую не представляется возможным. Также обращаем внимание на то, что первое уравнение не содержит свободных членов: напрашивается выразить одну переменную через другую. НО! Будет необходимо делить на одну из переменных, в связи с этим неплохо было бы доказать, что пара (0,0) не является решением этой системы.

Все разрешается обычной подстановкой.
Все разрешается обычной подстановкой.
Все разрешается обычной подстановкой.

Итак, первый шаг сделан. Теперь выразим y^2 через x b и проанализируем полученную функцию.

Естественно, что главным инструментом для анализа будет производная. Итак, вычислим производную, найдем её нули и значения исходной функции в этих точках: таким образом мы определим ёё значение в критических точках.

Слева и справа от критических точек исходная функция стремится к 0.
Слева и справа от критических точек исходная функция стремится к 0.
Слева и справа от критических точек исходная функция стремится к 0.

Следующий шаг. Решим второе уравнение как квадратное относительно x.

Исходя из требования неотрицательности дискриминанта (кстати, он выводится вот так) и значения y, полученного на первом шаге, получим, что единственным значением y, при котором система уравнений может иметь решение будет -1.

Теперь осталось подставить найденное значение y и получить пару решений:

************************************************************************

Путеводитель по каналу "Математика не для всех"

Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием.

**************************************************************************

Если Вам интересно, вот Вам моя подборка статей о математическом образовании в разных странах мира:

1. Тест по математике из американского ЕГЭ.

2. Британский ЕГЭ по математике.

3. Китайский ЕГЭ по математике (часть 1).

4. Решаю ЕГЭ по математике (часть B).

5. Решаю ЕГЭ по математике (часть А).