Изысканный способ решения системы уравнений. Показываю на пальцах

15 August 2020
3,7k full reads
1,5 min.
8,2k story viewsUnique page visitors
3,7k read the story to the endThat's 45% of the total page views
1,5 minute — average reading time

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!

Итак, сегодня очень быстро покажу изящный способ решения системы уравнения. Стоит отметить, что он применим, в основном для т.н. симметричных систем. Но лучше один раз показать. Поехали!

Решение задачи

Итак, имеем вот такую систему уравнений:

Попробуйте поменять местами x и y: ничего не изменится
Попробуйте поменять местами x и y: ничего не изменится
Попробуйте поменять местами x и y: ничего не изменится

Решаются таки системы крайне изысканной подстановкой и использованием формул из 7 класса средней школы.

Вспомнили формулы суммы квадратов и кубов и подставили переменные.
Вспомнили формулы суммы квадратов и кубов и подставили переменные.
Вспомнили формулы суммы квадратов и кубов и подставили переменные.

На втором этапе получаем кубическое уравнение в каноническом виде:

Но, мы же знаем, как их решать. В первую очередь надо вспомнить теорему Безу и тот факт, что если у такого уравнения есть целый корень, то он является делителем свободного члена. В этом уравнении нам везет уже на цифре 3. Теперь осталось только поделить многочлены в столбик.

Все же помнят, как это делать?

Дальше решаем оставшееся квадратное уравнение и находим три подходящие пары p и q:

Теперь настало время возвращаться к переменным. Для p и q из первой пары будут такие x и y :

Для второй и третьей пары ситуация такая. В одном из получившихся квадратных уравнений дискриминант отрицательный, поэтому уравнение вещественных корней не имеет. Во втором случае дискриминант положительный, есть два решения, ввиду трехэтажности которых не буду расписывать процесс их получения. В итоге наша система уравнений имеет четыре пары попарно симметричных решений в вещественных числах.

В этой статье хотел показать именно первоначальный подход. Как он Вам? Пишите в комментариях!

Читайте статью про удивительные треугольники Серпинского

Источник: https://images.fineartamerica.com/images-medium-large-5/geometric-symmetry-jason-galles.jpg
Источник: https://images.fineartamerica.com/images-medium-large-5/geometric-symmetry-jason-galles.jpg
Источник: https://images.fineartamerica.com/images-medium-large-5/geometric-symmetry-jason-galles.jpg
Путеводитель по каналу "Математика не для всех" - здесь собрано больше 100 статей на самые разнообразные темы: как для новичков, так и для более начитанных математиков!
Второй проект - канал "Русский язык не для всех"

Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием. ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.

**************************************************************************