Как математики определяют счастливые и несчастливые числа + примеры их нахождения

7 July 2020
806 full reads
2,5 min.
1,3k story viewsUnique page visitors
806 read the story to the endThat's 62% of the total page views
2,5 minutes — average reading time

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!

Приветствую, уважаемые Читатели. Прошлая статья про продолжительность жизни чисел вызвала неподдельный интерес и широкое обсуждение, которое превратилось больше чем в интернет-переписку. Один из читателей набросал простенький код в Python и показал, каким образом проверяется данное утверждение. Более того, нашел число с максимальной продолжительностью жизни, которое не было упомянуто в статье. Немного побродив по просторам интернета, я нашел еще один замечательный математический "ребус" и сегодня хочу рассказать о нём. Поехали!

Счастливые числа

Герои сегодняшнего повествования называются Happy Numbers. Их не стоит путать с Lucky Numbers - почему-то в русскоязычной Википедии и те и те называются "счастливыми", хотя ко вторым, очевидно, больше подходит эпитет "удачливые".

Итак, счастливое число определяется следующим алгоритмом: берутся цифры, составляющие разряды, каждое возводится в квадрат, а затем вычисляется их сумма. После этого существует два варианта:

  • либо сумма на каком-то этапе становится равной 1;
  • либо процесс зацикливается: такие числа называют "несчастливыми".

Давайте рассмотрим на примере:

Казалось бы, процесс никогда не закончится, однако, когда на каком-либо этапе возникает число 37, можно смело утверждать, что алгоритм зацикливается. Таким образом, 37 - это маркер "несчастья" в мире чисел. Самое удивительное, что все несчастливые числа замыкаются в одну единственную петлю : (37,58,89,145,42,20,4,16,37) .

Теперь приведем пример счастливого числа:

Таким образом, счастливым называется число, которое останавливается на единице. Вот список таких чисел:

Удивительно, но с ростом количества разрядов числа "схлопываются" всё равно достаточно быстро.
Удивительно, но с ростом количества разрядов числа "схлопываются" всё равно достаточно быстро.
Удивительно, но с ростом количества разрядов числа "схлопываются" всё равно достаточно быстро.

Обратите внимание, что если какое-либо число встречается в успешном алгоритме поиска единицы, то оно само является счастливым. Для приведенного выше примера это число - 130. Естественно, не обходится без "продолжительности жизни" - количестве тактов, после которого появляется единица. Для первых чисел:

0, 5, 1, 2, 4, 3, 3, 2, 3, 4, 4, 2, 5, 3, 3, 2, 4, 4, 3, 1, ...

Исходя из алгоритма, на "счастливость" не влияет перестановка цифр в числе, а также добавление или удаление нулей.

Среди счастливых чисел, естественно попадаются и простые числа. На данный момент самым большим счастливым простым числом является число 10150006 + 7426247⋅1075000 + 1. Однако "в вольном стиле" первое место занимает число 2^42643801 - 1 для десятичной записи которого требуется 12837064 цифры.

Конечно, во многом, это тривиальный алгоритм, ведь всего существует 10 цифр, а их квадраты могут заканчиваться на 0, 1,4, 5,6 и 9, но это не отменяет общей красоты в постановке задачи.

Кстати, если продолжать тему, то почему бы не попробовать проделать ту же операцию с нечетной степенью. например, с 3. Как Вам идея, господа Математики?
Источник: http://effetmer.e.f.pic.centerblog.net/o/cf7bdf07.png
Источник: http://effetmer.e.f.pic.centerblog.net/o/cf7bdf07.png
Источник: http://effetmer.e.f.pic.centerblog.net/o/cf7bdf07.png

**************************************************************************

Путеводитель по каналу "Математика не для всех" - здесь собрано больше 100 статей на самые разнообразные темы: как для новичков, так и для более начитанных математиков! Например, почитайте про трансцендентные числа!

Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием. ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.

**************************************************************************