Как возводить в степень бесконечное число раз?

5 July 2020
3k full reads
2 min.
4,5k story viewsUnique page visitors
3k read the story to the endThat's 66% of the total page views
2 minutes — average reading time

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!

Возведение в степень - это математическая операция, которая не вызывает проблем даже у неподготовленных людей. Действительно, возвести 2 в 5-ую степень может каждый. А что, если в степени стоит не одно число, а бесконечная башня из чисел? Как это вычислять? Покажу на интересном примере. Поехали!

Немного о порядке выполнения операций при возведении в степень

Итак, для начала уясним следующее: в каком порядке вычислять значение следующего выражения:

Если попытаться вычислить, то получим разные результаты:

Разница, как говорится, налицо
Разница, как говорится, налицо
Разница, как говорится, налицо

Чтобы понять, какой способ вычисления верный, подумайте: какой смысл писать в таком виде показатели, где мы могли бы их попросту перемножить по правилу степеней. Я имею ввиду, что второй вариант записи точно не подходит. Итак, мы определись, что :

А что если мы имеем вот такое выражение:

Эта операция называется "тетрацией"
Эта операция называется "тетрацией"
Эта операция называется "тетрацией"

Записав, что это выражение равно числу a, мы, вообщем-то, много на себя взяли, потому что результат в общем случае может быть самым неожиданным. Однако, продолжим и заметим, что если выражение слева может быть равно a, то это будет в пределе:

Подставив, например, a=2, заметим, что :

Что за невероятный парадокс (я уже как-то писал, что 2+2 может быть не равно 4, но здесь всё намного веселее!) ?

Конечно, это - псевдопарадокс (в отличие, например, от парадокса бесконечного отеля). Для разрешения нашей ситуации необходимо вспомнить теорему Вейерштрасса о пределах последовательности. В простом виде она утверждает, что если:

  • последовательность монотонно возрастает и
  • последовательность ограничена сверху,

то, она имеет конечный предел.

Первый пункт, конечно, строго доказывается по принципу математической индукции (писал о нем здесь), но обойдемся расчетами на пальцах :

Каждый следующий член точно больше предыдущего
Каждый следующий член точно больше предыдущего
Каждый следующий член точно больше предыдущего

С монотонностью разобрались, осталось понять, ограничена ли последовательность сверху:

Таким образом, мы видим, что последовательность ограничена сверху 2 и монотонно возрастает. Построим графики и найдем ответ:

Функция выпукла, поэтому прямая не может пересечь ёё еще когда-либо, таким образом, наша бесконечная башня из степеней равна 2. Кстати, квадратный корень из 2 - это единственное число, бесконечная башня которого равна его квадрату. О других свойства корня из 2 читайте в этом материале.

Источник :https://www.laboiteverte.fr/wp-content/uploads/2013/11/escalier-02.jpg
Источник :https://www.laboiteverte.fr/wp-content/uploads/2013/11/escalier-02.jpg
Источник :https://www.laboiteverte.fr/wp-content/uploads/2013/11/escalier-02.jpg

**************************************************************************

Путеводитель по каналу "Математика не для всех" - здесь собрано больше 100 статей на самые разнообразные темы: как для новичков, так и для более начитанных математиков! Например, почитайте про трансцендентные числа!

Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием. ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.

**************************************************************************