Квадратный корень из минус единицы: самая важная математическая фантазия в истории

9 July 2020
10k full reads
2,5 min.
15k story viewsUnique page visitors
10k read the story to the endThat's 65% of the total page views
2,5 minutes — average reading time

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!

Итак, квадратный корень из минус единицы. В прошлый раз мы встретились с ним в статье про особенности возведения в степень различных чисел, а также в материале про самые распространенные школьные заблуждения в математике. Кратко напомню, о чём идет речь. Поехали!

Рассмотрим квадратное уравнение

В школе такие уравнения всегда "расстраивали", ведь решения они "как бы" не имели. Однако с изучением высшей математики становилось ясно, что квадратное уравнение ОБЯЗАНО иметь корни!

Основное ограничение состояло в том, что невозможно было заставить себя работать с "запрещенной" операцией извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

Леонард Эйлер обошел эти ограничения и впервые ввел обозначение √(-1) , как i - мнимой единицы. Однако, утверждать, что √(-1) = i, как многие привыкли, не стоит, потому что:

Первая строчка двусмысленна! Поэтому стоит отказаться от её употребления
Первая строчка двусмысленна! Поэтому стоит отказаться от её употребления
Первая строчка двусмысленна! Поэтому стоит отказаться от её употребления

Теперь поговорим, как показать мнимую единицу на плоскости и о её значимости.

Источник: https://vk.vkfaces.com/845123/v845123434/1152ae/n_r1myCeEx8.jpg
Источник: https://vk.vkfaces.com/845123/v845123434/1152ae/n_r1myCeEx8.jpg
Источник: https://vk.vkfaces.com/845123/v845123434/1152ae/n_r1myCeEx8.jpg

Небольшое отступление

В рамках цикла про числа, которые нас окружают, я уже написал четыре статьи:

Я не дошёл до главной конструкции - комплексных чисел. Так что пока не вышел этот материал, поверьте на слово, что все вышеперечисленные числа являются комплексными. Иными словами, 0 , 1, 1/2 , √2, i, 3+i, число Пи, число Эйлера, да вообще практически всё, что можно назвать числами в привычном нам виде, называется комплексным числом. Главное отличие - в той самой "мнимой единице".

Вещественное число - это частный случай комплексного, например 3 = 3+0i, а, например, 3i = 0 + 3i - называется чисто мнимым числом.

Таким образом, имеем следующее:

Источник: https://ds02.infourok.ru/uploads/ex/02d9/00006480-60284357/img3.jpg
Источник: https://ds02.infourok.ru/uploads/ex/02d9/00006480-60284357/img3.jpg
Источник: https://ds02.infourok.ru/uploads/ex/02d9/00006480-60284357/img3.jpg

На плоскости комплексные числа с ненулевой мнимой частью показываются очень легко. По вертикальной оси откладывается мнимая часть, а по горизонтальной - действительная.

Im Z- imaginary - воображаемый, мнимый. Re Z - Real - действительное, вещественное
Im Z- imaginary - воображаемый, мнимый. Re Z - Real - действительное, вещественное
Im Z- imaginary - воображаемый, мнимый. Re Z - Real - действительное, вещественное

Например, число z = 2+3i, имеет действительную часть, равную +2 и мнимую равную +3. Строится всё элементарно. Одинокая мнимая единица наносится на плоскость из соображений i=0+1i.

Каждое комплексное число характеризуется модулем и аргументом.

Красным цветом обозначен модуль комплексного числа, желтым его аргумент. Иначе говоря, модуль - это длина от центра координат до точки, а аргумент - это угол поворота.
Красным цветом обозначен модуль комплексного числа, желтым его аргумент. Иначе говоря, модуль - это длина от центра координат до точки, а аргумент - это угол поворота.
Красным цветом обозначен модуль комплексного числа, желтым его аргумент. Иначе говоря, модуль - это длина от центра координат до точки, а аргумент - это угол поворота.

Комплексные числа - это наиважнейшая математическая абстракция, которая вышла далеко за пределы "чистой математики". Без мнимой единицы и комплексных чисел немыслимо существование электроники, систем радиосвязи, теории относительности, квантовой механики, теории упругости и многих других дисциплин.

Я полностью уверен, что важнее "фантазии", чем мнимая единица, в математике не существовало и навряд ли будет существовать! А как считаете Вы?

**************************************************************************

Путеводитель по каналу "Математика не для всех" - здесь собрано больше 100 статей на самые разнообразные темы: как для новичков, так и для более начитанных математиков! Например, почитайте про математическое программирование жизни!

Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием. ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.

**************************************************************************