Логарифм: самый нелюбимый, но такой важный. Вспоминаем школу

5 August 2020
29k full reads
4,5 min.
57k story viewsUnique page visitors
29k read the story to the endThat's 51% of the total page views
4,5 minutes — average reading time
Активируйте ПРОМОКОД mathematic25 для LITRES.RU до 31.08 и получите скидку 25% на весь каталог электронных книг. 

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!

О сколько раз приходилось слышать в школе: "Марь Иванна, да кому эти логарифмы нужны в обычной жизни!?" Это очень популярный вопрос: на место логарифма можно вставить теорему Виета, классификацию чисел, квадратные уравнения..да хоть философию Канта. Ответ такой: конечно, чтобы в обычной жизни протереть пыль со столешницы, логарифмы не нужны, чтобы сложить сумму покупок в магазине - тоже не нужны.

Логарифм - это конкретный инструмент под конкретную задачу упрощения вычислений. Приведу такую аналогию: если у Вас есть молоток, который забивает гвозди, Вы же не будете на форумах художников писать, мол, "да Ваши кисти никому не нужны, ими даже гвоздь забить нельзя!".

Тем, кто хочет освежить в памяти забытые знания, милости прошу! Остальные могут сразу переходить в комментарии для дискуссии.

Как пришли к понятию логарифма?

Вы когда-нибудь наверняка пробовали умножать большие числа друг на друга (может даже не большие, а с большим количеством знаков после запятой). Скажу сразу: легко не было. Вот и математики испокон веков вычитали и складывали без проблем, а вот с делением и умножением было сложнее: сказывалась алгоритмическая сложность.

Источник: https://www.syl.ru/misc/i/ai/301507/1677082.jpg
Источник: https://www.syl.ru/misc/i/ai/301507/1677082.jpg
Источник: https://www.syl.ru/misc/i/ai/301507/1677082.jpg

Ситуация изменилась в начале 17 века, когда шотландский математик Джон Непер придумал как заменить операцию умножения сложением.

Умножьте 34567 на 75634: не правда ли, сложнее, чем их сложить?
Умножьте 34567 на 75634: не правда ли, сложнее, чем их сложить?
Умножьте 34567 на 75634: не правда ли, сложнее, чем их сложить?

Он посмотрел на эту всем известную формулу и тут же увидел её перспективу: как бы сделать так, чтобы x*y приравнять к x+y, чтобы вместо умножения двух величин проводить сложение ? Для этого Джон создает первую таблицу логарифмов и даёт его определение.

Определение логарифма

Итак, под логарифмом числа b по основанию a понимается такое число c, в степень которого надо возвести a, чтобы получилось b. Проще в символьном виде:

Так намного проще. На а,b накладываются следующие ограничения. Во-первых, a и b больше нуля, во-вторых а не должно быть равно 1, т.к. в тогда правая часть выражения не будет иметь практического смысла, ведь в какую степень не возводи единицу, кроме единицы ничего не получишь.
Так намного проще. На а,b накладываются следующие ограничения. Во-первых, a и b больше нуля, во-вторых а не должно быть равно 1, т.к. в тогда правая часть выражения не будет иметь практического смысла, ведь в какую степень не возводи единицу, кроме единицы ничего не получишь.
Так намного проще. На а,b накладываются следующие ограничения. Во-первых, a и b больше нуля, во-вторых а не должно быть равно 1, т.к. в тогда правая часть выражения не будет иметь практического смысла, ведь в какую степень не возводи единицу, кроме единицы ничего не получишь.

В качестве основания a чаще всего применяют :

  • Число 10. В таком случае логарифм называется десятичным. Обозначается lg(a).
  • Число Эйлера e = 2,71828.... .Тогда логарифм называется натуральным. Обозначается ln(a).
  • Число 2. Тогда логарифм называется двоичным. Обозначается lb(a).

Пример: чему равен логарифм 8 по основанию 2 ? Ищем число, в которое надо возвести 2, чтобы получить 8. Очевидно, это число 3.

Дав определение, Непер составил таблицы логарифмов натуральных чисел по разным основаниям, которые на несколько сотен лет упростили жизнь математикам со всего мира. Покажу на коротеньком примере.

Источник: https://ds04.infourok.ru/uploads/ex/0667/0001526e-8ac6610c/2/img21.jpg
Источник: https://ds04.infourok.ru/uploads/ex/0667/0001526e-8ac6610c/2/img21.jpg
Источник: https://ds04.infourok.ru/uploads/ex/0667/0001526e-8ac6610c/2/img21.jpg

Давайте попробуем умножить число 9 на число 11. Для этого находим в столбце соответствующее количество единиц и получаем 2,1972. Для числа 11 значение логарифма будет равно 2,3979. Пользуясь свойством логарифма, складываем полученные величины и получаем 4,5951, что соответствует 99.

Это тривиальный пример, а что, если необходимо перемножить два четырехзначных числа? Легче и быстрее будет воспользоваться готовыми таблицами, конечно, если мы живем в 17-18 веке.

Еще одно классное свойство логарифмов, это способность к масштабированию зависимостей, которые иным образом показать на бумаге или рисунке с требуемой точностью было бы проблематично. В то время, как измеряемые величины изменяются на порядки: 10, 100, миллион и т.д. раз, логарифмы незаменимы. Классический пример применения логарифмической шкалы - это шкала звукового давления:

Логарифмическая шкала равномерная ! Источник: https://i.pinimg.com/736x/a2/fc/68/a2fc68d9e654bb1358e4f2acbc5289f8--physics-menu.jpg
Логарифмическая шкала равномерная ! Источник: https://i.pinimg.com/736x/a2/fc/68/a2fc68d9e654bb1358e4f2acbc5289f8--physics-menu.jpg
Логарифмическая шкала равномерная ! Источник: https://i.pinimg.com/736x/a2/fc/68/a2fc68d9e654bb1358e4f2acbc5289f8--physics-menu.jpg

Оцените: шум тихой спальни в абсолютных величинах (мкПа) отличается от шума самолета в 5 млн. раз, а в логарифмической школе это всего лишь 140 децибел!

Можно долго перечислять сферы, в которой применяются логарифмы: акустика, связь, геология (знаменитая шкала Рихтера), астрономия (шкала яркости звёзд), психология (закон) психофизического возбуждения. В целом, везде, где есть место умножению, своё применение находят логарифмы.

В этой статье я намеренно не останавливался на свойствах логарифмов и действиях с ними. Об этом поговорим в следующих материалах.

Розыгрыш в честь скорых 5000 подписчиков

Редактировать галерею
Редактировать галерею
Редактировать галерею
Ссылка на группу в контакте

А вот и конкретный пример: зачем считать деньги с логарифмами?

А как складывались Ваши отношения с логарифмами? Пишите в комментариях!

Путеводитель по каналу "Математика не для всех" - здесь собрано больше 100 статей на самые разнообразные темы: как для новичков, так и для более начитанных математиков!
Второй проект - канал "Русский язык не для всех"

Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием. ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.

**************************************************************************