Метод математической индукции во всем своем величии

29 June 2020
2,4k full reads
1,5 min.
4,3k story viewsUnique page visitors
2,4k read the story to the endThat's 56% of the total page views
1,5 minute — average reading time

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!

Добрый день, уважаемый Читатель, сегодня поговорим о одном из самых популярных приемов, которые математики используют в своих доказательствах. Этот метод называется математической индукцией и в самом первом приближении позволяет осуществить логический переход от частного к общему, доказать, что некоторые утверждении истинны всегда. В статье более подробно поговорим о нём и рассмотрим примеры. Поехали!

Источник: https://fs00.urokimatematiki.ru/jpg/metod_matematicheskoj_indukcii_9.1.jpg
Источник: https://fs00.urokimatematiki.ru/jpg/metod_matematicheskoj_indukcii_9.1.jpg
Источник: https://fs00.urokimatematiki.ru/jpg/metod_matematicheskoj_indukcii_9.1.jpg

Определение

Математическая индукция помогает доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел (про натуральные числа читать здесь). Алгоритм применения метода следующий:

  1. Сначала доказывается истинность утверждения с номером 1 - так называемый базис индукции.
  2. Доказывается, что если верно утверждение под номером n=k, то верно и утверждение с номером k+1.
  3. Тогда исходное утверждение верно для всех натуральных n.
Источник: https://www.graceworksministries.net/wp-content/uploads/2018/07/dominoes.jpg
Источник: https://www.graceworksministries.net/wp-content/uploads/2018/07/dominoes.jpg
Источник: https://www.graceworksministries.net/wp-content/uploads/2018/07/dominoes.jpg

Принцип домино - это хорошая наглядная иллюстрация метода математической индукции. Если в ряд поставить бесконечное количество косточек, таким образом, что задевая любую из них, мы опрокинем следующую за ней (момент индукционного перехода), тогда толкая первую косточку (базис индукции) мы уроним все косточки в этом ряду.

Примеры применения математической индукции в математике

Самый лучший способ понять суть метода - это доказать с его помощью несколько утверждений. Итак:

Не прибегая к методу математической индукции любой человек решит проверить это утверждение для нескольких n : 1,2,5 и т.д., а после этого заключит, что, скорее всего, это утверждение верно для любого числа. Мы же докажем это утверждение строго:

Ноль - четное число
Ноль - четное число
Ноль - четное число

Неплохо, доказав утверждение для n=1 мы обзавелись базисом индукции. Идем дальше:

Совершим индукционный переход. Для этого рассмотрим разность :

Результат, равный 2k - четный, что в совокупности с принятым предположением о чётности для n=k (нельзя получить нечетное число, вычитая четное из четного) и базисом индукции позволяет утверждать, что исходное утверждение истинно для всех n.

Еще один пример

Итак, заручимся базисом индукции:

Мы доказали, что для n=1  утверждение верно.
Мы доказали, что для n=1 утверждение верно.
Мы доказали, что для n=1 утверждение верно.

Теперь, исходя из предположения, что для n=k наше утверждение истинно, необходимо доказать то же самое для n=k+1

Доказательство этого факта чрезвычайно простое. Просто представим сумму для n=k+1 в таком виде:

Утверждение доказано!
Утверждение доказано!
Утверждение доказано!

Математическая индукция - очень серьезный математический инструмент, требующий аккуратного обращения. В результате неверного его применения возможно возникновение выходящих за рамки разумного парадоксов, которые я рассмотрю позже на этом канале.

А пока что почитайте про очень классный интуитивный парадокс, который касается (да Вы не ослышались) продолжительности жизни чисел!

*******************************************

Спасибо за прочтение! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием.

Путеводитель по каналу "Математика не для всех"

******************************************