Очень сложная тригонометрическая задача

16 June 2020
1,3k full reads
1 min.
2,4k story viewsUnique page visitors
1,3k read the story to the endThat's 54% of the total page views
1 minute — average reading time

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!

Недавно я уже решал пример с комплексными числами, который, кстати, нашел хороший отклик у аудитории - вот эта статья. Тот пример я отнес к обыкновенному уровню сложности, но сегодня у нас первый выпуск с реально продвинутой математикой. Статья будет полезна для тех, кто хочет освежить некоторые навыки работы с комплексными числами.

Если хотите еще подобных задач, голосуйте в форме ниже. Там же будут ссылки на менее сложные, но не тривиальные задачи, которые есть на канале "Математика не для всех". Поехали!
ИсточникЖ https://infokolomna.ru/upload/iblock/0d2/0d253392ebd582265c1173eae4e2f637.jpg
ИсточникЖ https://infokolomna.ru/upload/iblock/0d2/0d253392ebd582265c1173eae4e2f637.jpg
ИсточникЖ https://infokolomna.ru/upload/iblock/0d2/0d253392ebd582265c1173eae4e2f637.jpg

Итак, гость наших сегодняшних посиделок:

Решение начинается вот с чего: есть прекрасная формула арксинуса комплексного числа z :

В нашем случае исходное выражение перепишется следующим образом:

Хотите сказать, что не стало легче? Отнюдь! Теперь необходимо поработать с выражением под знаком логарифма. Чтобы произвести какие-либо действия с комплексными числами нужно привести их к алгебраическому виду x+iy. Раскрываем скобки:

Для удобства обозначил подкоренное выражение через w1. На следующем этапе необходимо разобраться с корнем из мнимой единицы, потому что он нам мешает записать алгебраическую форму. Нам в этом поможет следующая формула:

Применяя ее и немножко поразмышляв на плоскости получим промежуточный результат:

На графике показано, почему в ответе плюс/минус
На графике показано, почему в ответе плюс/минус
На графике показано, почему в ответе плюс/минус

Таким образом, получаем следующее выражение под логарифмом:

Осталось всего лишь применить формулу натурального логарифма комплексного числа:

Вот полное решение, чтобы было легче ориентироваться:

Вот так простое с виду выражение оборачивается целой чередой очень неприятных вычислений). Спасибо за внимание!

***************************************************************************

Путеводитель по каналу "Математика не для всех"

Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием. ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.

**************************************************************************

Кстати, я решил вернуться к своему старому каналу про космос и всё, что с ним связано. Уже успел написать про советский подход к изучению астрономии и белые дыры.

#комплексные числа #математический анализ