Парадокс Рассела. Главный парадокс теории множеств, оказавший влияние на всю математику.

21 August 2020
15k full reads
4 min.
25k story viewsUnique page visitors
15k read the story to the endThat's 61% of the total page views
4 minutes — average reading time

Идет 1902 год, немецкий философ, а заодно логик и математик, Фридрих Людвиг Готлоб Фреге терпеливо трудится над вторым томом "Основных законов арифметики". И вот, когда основная работа подходит к концу, к нему приходит письмо от другого мастодонта логики - англичанина Бертрана Рассела. Прочитав это письмо, Фреге вносит примечание в своё произведение, которое начинается с таких слов:

"Вряд ли с учёным может приключиться что-нибудь худшее, чем если у него из-под ног выбьют почву в тот самый момент, когда он завершит свой труд. Именно в таком положении оказался я, получив письмо от Бертрана Рассела, когда моя работа уже была завершена".

Вы уже, наверное, догадались, что речь в этом послании шла о знаменитом парадоксе, который не только стал стимулом для пересмотра аксиоматических основ математики, став началом конца т.н. "наивной теории множеств", но и усилил противоречия, став хорошим аргументом для сторонников нового направления в математике - интуиционизма. Разберемся, в чём суть парадокса. Поехали!

Источник: https://pbs.twimg.com/media/EU2EJ-UWkAAlbpW.jpg
Источник: https://pbs.twimg.com/media/EU2EJ-UWkAAlbpW.jpg
Источник: https://pbs.twimg.com/media/EU2EJ-UWkAAlbpW.jpg

Формальный парадокс Рассела

Итак, начнем с формального определения, а потом перейдем к "житейским".

Назовём множество "обычным" в том случае, если оно не является элементом самого себя. Например, множество овец является "обычным", т.к. само множество не является овцой, а является некой их совокупностью.

"Необычным" множеством, в свою очередь, назовем такое множество, которое само является собственным элементом. В качестве примера Рассел приводит множество всех множеств (остановитесь, обдумайте минутку и читайте дальше).

Любое множество входит в состав универсального. https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ca/Venn1111.svg/330px-Venn1111.svg.png
Любое множество входит в состав универсального. https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ca/Venn1111.svg/330px-Venn1111.svg.png
Любое множество входит в состав универсального. https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ca/Venn1111.svg/330px-Venn1111.svg.png
Мы, кстати, говорили про это понятие в статье, где я давал определение унарным операциям над множествами. Так вот, дополнение множества там определяется через некий "универсум" - множество всех множеств. Освежите в памяти.

Парадокс Рассела возникает тогда, когда начинают рассматривать множество всех обычных множеств, которое получило название "расселовское" и пытаются понять, является ли оно "обычным". Следите за пальцами, есть два пути:

  1. Пусть "расселовское" множество - обычное. Если оно обычное, то должно включать себя в качестве элемента, ведь по определению оно состоит из всех "обычных" множеств. Но в то же время, оно не может быть"обычным", т.к. включает самого себя.
  2. Пусть "расселовское" множество - необычное. Теперь оно не может включать себя в качестве элемента, ведь по определению оно состоит только из обычных множеств. Но если так, и оно не включает себя, оно само должно быть "необычным".

И в первом и во втором случае получается противоречие.

Житейские версии парадокса

Самый известный вариант, известный еще с античности" - это "парадокс лжеца" :

Данное высказывание ложно. Истинно ли это высказывание или нет ?

Второй вариант - это "парадокс брадобрея":

Пусть в некотором городе живет брадобрей, который бреет всех жителей, которые не бреются сами, и только их. Бреет ли брадобрей самого себя?

Третий вариант - это "парадокс каталога":

Каталоги - это книги, которые описывают другие книги. Некоторые каталоги могут содержать другие каталоги, а некоторые могут описывать даже себя. Можно ли составить каталог всех каталогов, которые не описывают сами себя?

Все эти парадоксы разрешаются похожим образом: в первом не может существовать "расселовского" множества, во втором - такого брадобрея, а в третьем - такого каталога. С другой стороны, мы же в формулировках парадоксов сами определили их, т.е. постулировали их существование.

Здесь на сцену вышли те самые интуиционисты, которые утверждают, что любой объект может существовать, если мы предоставили способ его построения. Таким образом, этих парадокса Рассела в интуиционистской математике не существует, что, впрочем, не мешает существовать другим (об этом в другой раз).

Два противника: конструктивист Давид Гильберт и основатель интуиционизма Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр . Источник: http://www.vokrugsveta.ru/img/cmn/2008/10/21/036.jpg
Два противника: конструктивист Давид Гильберт и основатель интуиционизма Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр . Источник: http://www.vokrugsveta.ru/img/cmn/2008/10/21/036.jpg
Два противника: конструктивист Давид Гильберт и основатель интуиционизма Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр . Источник: http://www.vokrugsveta.ru/img/cmn/2008/10/21/036.jpg

Что же предприняли математики-конструктивисты ? Придумали новые аксиоматики теории множеств, взамен "наивной", например:

  • в теории Цермело-Френкеля просто запретили строить множество всех множеств, в т.ч. и "расселовское";
  • сам Рассел разработал теорию типов, где простой элемент имел порядок 0, множество простых элементов - порядок 1, множество множеств простых элементов - порядок 2 и т.д. Таким образом, в этой теории исключено существование множеств, включающих себя в качестве элемента.
  • в аксиоматике Неймана-Бернрайса-Гёделя вообще провернули "финт ушами", а именно назвали множество всех множеств "классом", попутно объявив, что оно само не является множеством и не является элементом какого-либо класса. "Гениальный ход".

В перечисленных теориях все возможные парадоксы были устранены, казалось, битва закончена. Однако в 1930 году молодой (24 года!) австрийский математик Курт Гёдель нанес такой удар, к которому ни одна из имевшихся аксиоматик не была готова. Но это - уже совсем другая история. О ней расскажу немного позже.

Понравилось? А знаете, как теорема Байеса может буквально перевернуть Вашу логику с ног на голову ?

Путеводитель по каналу "Математика не для всех" - здесь собрано больше 100 статей на самые разнообразные темы: как для новичков, так и для более начитанных математиков! ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.
Второй проект - канал "Русский язык не для всех".