Почему 0,9999..... = 1 ? Ведь так нельзя округлять. Или парадокс верен?

12 July 2020
11k full reads
1,5 min.
15k story viewsUnique page visitors
11k read the story to the endThat's 72% of the total page views
1,5 minute — average reading time

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!

Математические парадоксы занимают особое место на моём канале: я уже рассказывал про классические парадоксы из теории вероятности, про то, как сумма натуральных чисел равняется отрицательной дроби, про заселение клиентов в бесконечный Гранд-отель и т.д. Сегодня разберем очередной непонятный факт из мира чисел. Поехали!

Источник: https://i.ytimg.com/vi/MyBR1KciWfs/sddefault.jpg
Источник: https://i.ytimg.com/vi/MyBR1KciWfs/sddefault.jpg
Источник: https://i.ytimg.com/vi/MyBR1KciWfs/sddefault.jpg

Как округляются десятичные дроби?

Напомню, что округление десятичных дробей производится следующим образом: берется разряд, до которого производится округление. Затем, если следующий разряд меньше 5, он отбрасывается, а если больше или равен 5, то прибавляется единичка к предыдущему разряду. Выглядит это вот так:

Увеличивая количество разрядов, мы все равно не добьемся равенства: оно будет лишь приблизительным. Но не всегда, например :

Будет ли иметь место приблизительное равенство или строгое? Интуиция подсказывает, что первое, но математика разбивает эти надежды. Существует несколько методов доказательства того, что знак равенства в этом выражении должен быть строгий. Приведу два наиболее простых из них.

Метод первый

Действительно, число 9,999.... отличается от 0,999... только на целую часть, равную 9. Если мы вычтем их друг из друга, то каждый десятичный разряд будет "поглощен". Данный способ, конечно, самый легкий, но не очень мне нравится. По моему мнению, такие манипуляции с периодическими десятичными дробями надо проводить более аккуратно. А вот второй метод мне больше по душе.

Метод второй

Здесь будем использовать формулу геометрической прогрессии. Любую десятичную дробь можно представить в следующем виде:

Теперь по известной формуле при знаменателе прогрессии меньшим 1, получим сумму её членов для интересующего нас числа 0,999...

Вот и всё доказательство. Я, кстати, придерживаюсь мнения, что это равенство верно и отталкиваюсь от того, что, строго говоря, такого бесконечного числа, как 0,999... вообще не должно существовать. Ведь зачем нам нужна бесконечность, если алгоритм, которым мы задаем это число абсолютно детерминирован и тривиален. А как считаете Вы, уважаемые Читатели?

Хотите еще красоты ? Почитайте про самое удивительное математическое совпадение!

**************************************************************************

Путеводитель по каналу "Математика не для всех"

Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием. ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.

**************************************************************************