Почему разность этих чисел делится на 7 ? Рассказывает математика

25 June 2020
3,2k full reads
1,5 min.
5,3k story viewsUnique page visitors
3,2k read the story to the endThat's 60% of the total page views
1,5 minute — average reading time

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!

Добрый день, уважаемый Читатель! Сегодня утром получаю на почту письмо следующего содержания:

Здравствуйте!
Много лет назад заинтересовали меня признаки делимости. Вот какой эмпирический (не имеющий строгого доказательства), но "безотказный" признак делимости на 7 удалось мне обнаружить.

Источник: https://yandex.ru/images/_crpd/18OsZK764/fd52bbR1RFHn/Y8fTbUPOzVO1AMvEbn6j2TyH7O4sA_hqXqEuosOG73_OyqJEzkojdSwO4Xx45Qhes9x-M96VI5YIUD4BdEBgg1NjN_0y-4kjgQIKdPt_1w3JBxy76AcNqhrg3sLXV06Kjhxm9Q5OxqBqfvFMCRf6_II7DYRt94T037S7BBRFQWK3QnRuo
Источник: https://yandex.ru/images/_crpd/18OsZK764/fd52bbR1RFHn/Y8fTbUPOzVO1AMvEbn6j2TyH7O4sA_hqXqEuosOG73_OyqJEzkojdSwO4Xx45Qhes9x-M96VI5YIUD4BdEBgg1NjN_0y-4kjgQIKdPt_1w3JBxy76AcNqhrg3sLXV06Kjhxm9Q5OxqBqfvFMCRf6_II7DYRt94T037S7BBRFQWK3QnRuo
Источник: https://yandex.ru/images/_crpd/18OsZK764/fd52bbR1RFHn/Y8fTbUPOzVO1AMvEbn6j2TyH7O4sA_hqXqEuosOG73_OyqJEzkojdSwO4Xx45Qhes9x-M96VI5YIUD4BdEBgg1NjN_0y-4kjgQIKdPt_1w3JBxy76AcNqhrg3sLXV06Kjhxm9Q5OxqBqfvFMCRf6_II7DYRt94T037S7BBRFQWK3QnRuo

Подходит для чисел с любым числом значащих цифр:

Выберем любое число вида abcde...xyz.

  1. Запишем это число в виде abcde...xy (временно отбросив последнюю цифру).
  2. Умножим полученное число adcde...xy на 3.
  3. К числу 3abcde...xy прибавим временно отброшенную цифру z.
  4. Если полученное число 3abcde...xy+z делится на 7, то и выбранное число abcde...xyz делится на 7.
  5. Если полученное число 3abcde...xy+z не делится на 7, то и выбранное число abcde...xyz не делится на 7.
Возможно, этот признак заслуживает публикации на Вашем математическом канале.
С уважением Руслан Цвиткис.

Что же, интересно, проверим на бумаге :

Действительно, наугад взяв четырехзначное число, получил, что остаток от деления на 7 ни исходного числа, ни числа сформированного по предложенному автором алгоритму не равен 0.

Идем дальше, подумал я: "А что, если вычислить разность чисел полученных в этом алгоритме?". Вот что получается:

И действительно, предположение верно. Разность нацело делится на 7, Причем от исходного числа делимость не зависит. В общем виде всё это выглядит вот так:

Из последнего равенства как раз и выводятся главные свойства этого математического фокуса:

1) Разность двух натуральных чисел, построенных по такому алгоритму всегда нацело делится на 7.

2) Если одно из чисел делится/не делится на 7, то для второго ситуация аналогична.

Кстати, а вот еще арифметический пример, в котором показано, что сумма бесконечного числа натуральных чисел 1,2,3 и т.д. равна отрицательной дроби!

*******************************************

Спасибо за прочтение! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием.

Путеводитель по каналу "Математика не для всех"

******************************************