Почему в мнимой единице нет ничего мнимого? Истинная природа комплексных чисел

17k full reads
25k story viewsUnique page visitors
17k read the story to the endThat's 68% of the total page views
2 minutes — average reading time

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу продолжить на тему комплексных чисел, обратившись к их истинной природе. Наиболее частым заблуждением относительно них является непризнание их числами, эфемерность и абстрактность.

Леонард Эйлер. Именно он ввёл привычные сейчас обозначения комплексных чисел. Источник: https://images.theabcdn.com/i/35746045.png
Леонард Эйлер. Именно он ввёл привычные сейчас обозначения комплексных чисел. Источник: https://images.theabcdn.com/i/35746045.png
Леонард Эйлер. Именно он ввёл привычные сейчас обозначения комплексных чисел. Источник: https://images.theabcdn.com/i/35746045.png

В этом материале я постараюсь показать Вам (не углубляясь в алгебру с её полями), что комплексные числа- такие же числа, как и те, которые мы привыкли использовать в повседневной жизни. Поехали!

Для начала рассмотрим четыре действительных числа a,b,c,d. Работать с ними будем не по одиночке, как привычно, а парами:

a,с - коэффициент при дейсвительной чатис
a,с - коэффициент при дейсвительной чатис
a,с - коэффициент при дейсвительной чатис

Такие упорядоченные пары действительных чисел и будем называть комплексными числами. Вопрос в том, являются ли они числами в привычном понимании?

"Кто платит, тот и заказывает музыку! " - введем на этих парах чисел сложение и умножение таким образом:

Почему в мнимой единице нет ничего мнимого? Истинная природа комплексных чисел

Теперь надо определиться, как записывать обычные действительные числа в комплексном виде? Очевидно, что мы вправе сделать такое сопоставление:

Получили привычные правила умножения и сложения
Получили привычные правила умножения и сложения
Получили привычные правила умножения и сложения

Запись выше показывает, что мы можем сопоставить каждому действительному числу единственное комплексное число. Кроме того, становится ясно, что комплексные числа включают в себя действительные.

Хм, ладно, а что, если первое число из пары равно нулю, а второе нет? Например, рассмотрим самую простую пару (0,1). Используем введенное нами правило умножения:

Почему в мнимой единице нет ничего мнимого? Истинная природа комплексных чисел

А вот и мнимая единица! Уже понятно, что ничего "магического" в ней нет! Осталось понять, почему мы вправе записывать комплексные числа в удобном алгебраическом виде, т.е. вместо (a,b) писать a+bi. Для этого опять применим правила, которые мы определили в самом начале игры:

a - коэффициент при действительной части, b - при мнимой
a - коэффициент при действительной части, b - при мнимой
a - коэффициент при действительной части, b - при мнимой

Как видите, математики просто ушли от неудобной записи со скобками, ничего не нарушив! Переход от действительных к комплексным числам такой же естественный, как и переход, например, от целых и натуральных чисел к рациональным!

Вспомните определение: фактически мы сопоставляли пару из целого m и натурального n рациональному числу m/n. Просто в этом случае использовали не скобку, а знак деления!

Оценили глубину этих глубин? Замечательно то, что мы можем пользоваться комплексными числами в повседневной жизни так же как и действительными. Например, при измерении комплексного сопротивления цепи в электротехнике (а еще в теории обработки сигналов, квантовой механике, картографии, аэродинамике и т.д.) , которое без наших новых знакомых описать было бы проблематично. Спасибо за внимание!