Показываю, как квадратное уравнение может иметь 4(!!!) корня сразу

23 July 2020
7,5k full reads
1,5 min.
13k story viewsUnique page visitors
7,5k read the story to the endThat's 55% of the total page views
1,5 minute — average reading time

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!

Сразу хочу отметить, что, хоть и приведенный ниже материал не требует серьезной математической подготовки, рекомендую ознакомиться с первой его частью по этой ссылке. Поехали!

Часть 2. Кольцо остатков и четыре корня

В конце прошлой статьи я сказал, что кроме кольца вещественных и целых чисел, существуют коммутативные кольца, над которыми теорема Безу всё так же работает, но с некоторыми "несуразностями". Встречайте кольцо остатков:

Это кольцо состоит из чисел, которые могут появиться при делении на 8 (например, если делить 13 на 8, в остатке получится 5, если делить 8 на 8, в остатке получится 0 и так далее). На примере посмотрим, почему это множество является коммутативным кольцом с единицей.

Каким же образом??? Ведь отрицательных чисел нет, а значит нет и обратного элемента относительно сложения...

Давайте по шагам:

1) Наличие нейтрального элемента относительно сложения: в множестве есть 0, поэтому очевидно, что требование выполняется, т .е. например, 3+0=3.

2) То же самое выполняется и для умножения: 4*1=4.

3) Коммутативность относительно умножения тоже очевидна, 2*3=3*2 и так далее.

4) А что же насчет обратного элемента относительно сложения? Всё, что удивительно, выполняется. Следите за руками:

4+4=0 (8 делится без остатка на 8)
5+3=0 (такая же ситуация)

и так далее. Таким образом, для каждого элемента можно найти обратный по сложению. Не проверяя остальные тривиальные требования, можем смело заключить, что кольцо остатков по 8 является коммутативным кольцом с единицей и для него должна быть верна теорема Безу.

Лирическое отступление: арифметика над кольцом остатков достаточно занятна, например:

Но дважды два равно 4, хотя если взять кольцо по остатку 4, уже будет не так
Но дважды два равно 4, хотя если взять кольцо по остатку 4, уже будет не так
Но дважды два равно 4, хотя если взять кольцо по остатку 4, уже будет не так

А еще над кольцом остатков по 8 следующие многочлены суть одно и то же:

Ведь, 9 mod 8 =1, 27 mod 8 =3, 10 mod 8 = 2
Ведь, 9 mod 8 =1, 27 mod 8 =3, 10 mod 8 = 2
Ведь, 9 mod 8 =1, 27 mod 8 =3, 10 mod 8 = 2

Ну а теперь самое интересное: найдем корни следующего простого квадратного уравнения над кольцом остатков по 8 :

Видите, у обычного квадратного трехчлена есть 4 корня. А теперь у меня к Вам вопрос. Вспомните первую часть, там я писал, что квадратный трехчлен можно представить в виде (x-x1)*(x-x2), где x1, x2 - его корни.

Верно ли над кольцом остатков по 8 следующее утверждение и не противоречит ли оно теореме Безу:

Итак, вывод: у многочлена над произвольным коммутативным кольцом над единицей может быть корней больше, чем его степень.

**************************************************************************

Путеводитель по каналу "Математика не для всех" - здесь собрано больше 100 статей на самые разнообразные темы: как для новичков, так и для более начитанных математиков! Например, почитайте про самое маленькое число, которое когда-либо использовалось учеными.
Второй проект - канал "Русский язык не для всех"
Ну разве это - не озарение ?
Ну разве это - не озарение ?
Ну разве это - не озарение ?

Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием. ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.

**************************************************************************