Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы.
Абстракция в математике - один из главных методов познания. С её помощью математики размышляют о нереально больших числах, путешествуют во времени, выворачивают сферы наизнанку и ... симулируют жизнь! Речь пойдет о максимально простой "nature model " - клеточном автомате. Поехали!
Быстренько разберемся с терминологией. Да есть сложное математическое определение, что клеточным автоматом A называется четверка : {G,Z,N,f}, где
- G - дискретное метрическое пространство (кстати, к вопросу о метрическом пространстве я уже вплотную подошел в вводном курсе по математической топологии).
- Z - конечное множество возможных состояний решетки;
- N - конечное множество, определяющее клетки, которые влияют на исходные (иначе говоря, показывает с какими соседями взаимодействует конкретная клетка);
- f - функция перехода или правило автомата.
А теперь на рисунке:
"И эта таблица - клеточный автомат" - воскликните Вы? Он имитирует жизнь???
Строго говоря на рисунке выше представлено всего лишь одно из состояний простейшего клеточного автомата. Во-первых, этот автомат двухмерный, каждая клетка принимает только два значения (есть шарик - 1, нет шарика - 0 ), а закон изменения зависит только от прошлого состояния клетки и смежных с ней справа и слева - это та самая функция перехода f, о которой я говорил выше. Давайте немного поиграемся: зададим функцию перехода f, используя правила Вольфрама.
Этот замечательный ученый отметил, что у простейших клеточных автоматов может быть всего лишь 256 функций перехода (определяется количеством соседей и исходных состояний клетки).
Наиболее интересна функция перехода под номером "110". Разберемся, что это значит. В первую очередь, раз уж имеем дело с дискретным автоматом, переведем десятичное число в двоичное.
В первую строку таблицы пропишем все возможные комбинации с помощью трех символов в двоичной системе. Во второй строке побитно расчленим двоичное число 01101110.
Применяя правило "110" мы перейдем в следующее состояние клеточного автомата. Стоит отметить, что рассматриваемый клеточный автомат синхронный, т.е. функция перехода применяется одновременно ко всем клеткам, фиксируя их исходное состояние для расчетов. Ячейка а изменит состояние на "0" , а, например, ячейка б, код которой из таблицы равен 110, не изменит состояния. Аналогичная ситуация для ячейки в, код которой 010.
На приведенных рисунках, представлена простейшая ситуация со случайным расположением исходных клеток. А вот, что получается если немного пофантазировать с исходным рисунком таблицы:
Не напоминает ли урок биологии в средней школе? Именно поэтому правило 110 получило от математика Джона Конвея гордое наименование "Игра в жизнь". Фантазия математиков зашла настолько далеко, что ими были выделены даже определенные классы "персонажей" этой игры, например:
- ружья;
- паровозы;
- пожиратели
- размножители
- и т.д.
Фигура выше называется R-пентамино и она стабилизируется после 1103 поколений, а на поле остается 8 блоков, 6 планеров, 4 улья, 4 мигалки, 1 лодка, 1 каравай и 1 космический корабль!
Впрочем, клеточные автоматы не просто красивая абстрактная картинка, но и реально применяемая область математики: есть приложения в области криптографии, биологии, химии и даже фундаментальной физики. В рамках последней, ученые утверждают, что вся наша Вселенная - есть клеточный автомат. А кто тогда в ней Вы? Жду Ваших комментариев! Там же в комментариях будет ссылка на "Игру в жизнь"!
Путеводитель по каналу "Математика не для всех"
************************************************************************
Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием.
**************************************************************************
Список материалов для начинающего математика:
- Зачем строителю египетский треугольник?
- Как считать на пальцах до 60 ?
- Самая красивая формула в мире математики.
- 2+2 =5 с точки зрения математики.
- Задачка про сосиски.
- Помните теорему Виета?
- Когда случайное не случайно: теорема Чебышева.
- Решаю ЕГЭ по математике (часть А).