39 543 subscribers

Просто объясняю производную даже тем, кто в школе ненавидел математику

3k full reads

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! В одной из прошлых статей я рассказывал на очень простом языке о краеугольном понятии математического анализа - производной. В том материале я искал производную в виде мгновенной скорости движущегося объекта. Сегодня же я расскажу и о другом каноническом её определении - геометрическом - в максимально (иногда даже слишком) простой форме.

Просто объясняю производную даже тем, кто в школе ненавидел математику

Что такое касательная к кривой?

Осведомленные Читатели, естественно вспоминают и знают, что с понятием производной тесно связано понятие касательной. Давайте формализуем его хотя бы чисто геометрически. Внимание на рисунок:

Просто объясняю производную даже тем, кто в школе ненавидел математику

Пусть дана кривая линия, на которой отмечена точка А₀. Отметим на этой же прямой произвольную (в том смысле, что можем поставить её и справа) точку А₁ и проведем секущую через эти две точки.

Если теперь мы будем перемещать точку А₁ по кривой в сторону точки А₀, то секущая будет пытаться занять некоторое предельное положение, при котором у неё с кривой будет всего лишь одна общая точка. Именно тогда секущая и превращается в касательную.

  • Конечно, касательная - это идеализированное понятие. Ведь чтобы понять, что значит "касается в одной точке", нужно знать, что, собственно, из себя представляет эта точка. К счастью мы пользуемся в математике определением Евклида - "точка - это то, часть чего есть ничто". Но вернемся к математике.

Определение производной

Итак, рассмотрим график функции y=f(x) и дадим пояснения рисунку:

Просто объясняю производную даже тем, кто в школе ненавидел математику

Пусть на графике имеется точка М₀ (х₀,y₀), в которой функция принимает значение f(х₀). Зададим этой точке любое горизонтальное приращение ∆х (например, +0,1, что по сути без разницы). Тогда функция примет значение f(х₀+∆х), что соответствует точке М₁ на графике. Разница же между значениями функции в точках М₀ и М₁ равняется:

Просто объясняю производную даже тем, кто в школе ненавидел математику

Давайте теперь ответим на вопрос, под каким углом секущая М₀Мвстречается с горизонтальной осью?

Очевидно, исходя из простых геометрических соображений, что:

Просто объясняю производную даже тем, кто в школе ненавидел математику
Тангенс - отношение противолежащего катета прямоугольного треугольника к прилежащему

Теперь начинаем как при определении касательной двигать точку М₁ в сторону точки М₀:

Просто объясняю производную даже тем, кто в школе ненавидел математику
Сначала определимся, что "двигаем в сторону" - значит уменьшаем приращение ∆х.

На графике новому меньшему приращению ∆х (было + 0,1, а теперь пусть будет +0,05) соответствует точка М₂ и синяя секущая. Очевидно, что угол "встречи" секущей также изменился: в данном случае он увеличился.

  • Если бы точка М₁ была слева от М₀, то угол бы наоборот увеличивался. Здесь всё зависит от конкретной точки конкретного графика, да и это не меняет сути вопроса.

Теперь же будем еще сильнее придвигать точку М₁, да так, что приращение ∆х будет всё меньше и меньше или, на языке матанализа, устремим его к нулю.

Просто объясняю производную даже тем, кто в школе ненавидел математику

Как раз-таки в этой позиции предельной близости ∆х к нулю, секущая превратится в касательную к кривой в точке М₀. Как записать теперь угол встречи касательной с горизонтальной осью? Да почти так же, ведь изменений немного:

Просто объясняю производную даже тем, кто в школе ненавидел математику

Т.е. значение производной функции в некоторой точке равняется тангенсу угла, образованного положительным направлением оси ОХ и касательной к графику функции в этой точке.

По рисунку видно, что в касательная точке М₀ встречается с осью ОХ по углом, меньшим 90 градусов, следовательно, тангенс угла больше 0. В таком случае говорят, что функция возрастает в точке М₀ (немного непонятно, что это такое, но с тем же самым мы встречались, когда говорили о мгновенной скорости).

Случаи бывают разные. Например, на этом графике в точке М₀ функция убывает, в точке М₁ - она постоянная (производная равна нулю, функция не изменяется), а в точке М₂ - равна бесконечности (функция неограниченно быстро растет). Конечно, последние два случая вырожденные, но всё равно ключевые для понимания производной.
Случаи бывают разные. Например, на этом графике в точке М₀ функция убывает, в точке М₁ - она постоянная (производная равна нулю, функция не изменяется), а в точке М₂ - равна бесконечности (функция неограниченно быстро растет). Конечно, последние два случая вырожденные, но всё равно ключевые для понимания производной.

Итак, с геометрическим понятием производной у меня всё. Если Вам понравился данный материал, он отвечает Вашим ожиданиям, да и просто Вы не прочь поддержать автора - ставьте "Нравится" и подписывайтесь на канал "Математика не для всех". Спасибо за внимание!

  • TELEGRAM и Facebook - там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.