Решаю задачу из вступительных экзаменов на мехмат МГУ в 1970 году: как это было ?

19 May 2020
11k full reads
2,5 min.
19k story viewsUnique page visitors
11k read the story to the endThat's 60% of the total page views
2,5 minutes — average reading time

Снова попалась мне в руки замечательная книжка, которую еще в школе я использовал для подготовки к экзаменами и олимпиадам.

Не рекламы ради, но книга идеальная!
Не рекламы ради, но книга идеальная!
Не рекламы ради, но книга идеальная!

Кстати, вот эта книга на Яндекс.Маркете. Рекомендую к ознакомлению!

В конце приведен достаточно обширный список вступительных задач по математике для поступления в МГУ на разные факультеты, начиная с 1970 года. Сегодня у нас на завтрак неравенство с логарифмами, приправленное тригонометрией прямиком из 1970 года со вступительных экзаменов на мехмат МГУ. Начнём!

Посмотрим внимательно на неравенство, скорее всего путь к решению лежит через образование в левой и правой части логарифмов с одинаковым основанием, очевидно равным 2. Но для начала определим область допустимых значений x!

Очевидно, ОДЗ аргумента х будет выглядеть так. Решение:

sinx > 0 в первой и второй четверти (если забыли, почитайте в моей статье). Поехали дальше, вспоминаем логарифмы (уже упоминал эти простые правила, когда решал часть А ЕГЭ - ближе к середине статьи). Преобразовываем:

А теперь вспомним график логарифмической функции:

Как видно из график, функция монотонно возрастает: т.е. большим значения аргумента соответствует большее значение функции.
Как видно из график, функция монотонно возрастает: т.е. большим значения аргумента соответствует большее значение функции.
Как видно из график, функция монотонно возрастает: т.е. большим значения аргумента соответствует большее значение функции.

Значит, мы можем заменить неравенство на:

От логарифмов избавились, помучаемся с синусами и косинусами. Прежде всего заметим, что слева формула косинуса двойного угла.

Перенесем влево синус в квадрате и применим формулу разности квадратов, получим:

Здесь еще раз заменили cos2x по формуле разницы квадратов косинуса и синуса
Здесь еще раз заменили cos2x по формуле разницы квадратов косинуса и синуса
Здесь еще раз заменили cos2x по формуле разницы квадратов косинуса и синуса

Наконец-то можно выдохнуть: после замены sinx=t перед нами обычные многочлены 2-ой степени.

Помним, что t =sinx строго больше 0 и меньше либо равен 1
Помним, что t =sinx строго больше 0 и меньше либо равен 1
Помним, что t =sinx строго больше 0 и меньше либо равен 1

Применим любимую мною теорему Виета для нахождения нулей этих многочленов (можно идти через дискриминант, но тут всё тривиально). Оч

Раз уж у нас не заявлена "математика дял начинающих", оставлю ход решения этого неравенства в потемках своей души. Отмечу лишь, что, исходя из ОДЗ t, в качестве решения подходит только отрезок [-1/2;1/2]. Решаем неравенство, вспоминаем ОДЗ и рисуем ответы на графике для наглядности:

Из графика становится понятно, что из решения неравенства необходимо исключить две точки, выделенные красным цветом.

************************************************************************

Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием.

**************************************************************************

О чем я еще пишу:

Теорема неслучайности: неравенство Чебышева
Про факториал
Как запомнить синус и косинус основных углов?
Что такое множество или вспоминаем школьную математику
Экзотические тригонометрические формулы, которые не дают в школе