Самая известная математическая константа. Число π и как его получили

10 August 2020
3,4k full reads
3 min.
5,5k story viewsUnique page visitors
3,4k read the story to the endThat's 62% of the total page views
3 minutes — average reading time
Активируйте ПРОМОКОД mathematic25 для LITRES.RU до 31.08 и получите скидку 25% на весь каталог электронных книг. 

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!

Добрый день, уважаемые Читатели! Трудно написать что-то новое про число Пи : всё уже десятки раз разжевано не только авторами Дзен, но и на всевозможных других сайтах. С другой стороны, обходить его стороной на блоге, посвященном математике, - чистой воды кощунство. Поехали!

Источник: https://aif-s3.aif.ru/images/003/346/962b30d1f73bf7ad0643de621046dcfc.jpg
Источник: https://aif-s3.aif.ru/images/003/346/962b30d1f73bf7ad0643de621046dcfc.jpg
Источник: https://aif-s3.aif.ru/images/003/346/962b30d1f73bf7ad0643de621046dcfc.jpg

Экскурс в историю

В своём материале, я недавно рассказывал про древнейший сборник математических задач, созданный египетским писарем Ахмесом. В одной из задач требовалось найти площадь круга определенного диаметра, и самое удивительное, египтяне справлялись без числа Пи!

На самом деле, вавилонские, египетские, древнегреческие и древнеиндийские математики были едины в том, что отношение длины окружности к её радиусу - величина постоянная.

В Вавилоне вообще считалось, что это отношение равно 3, что не помешало им построить Вавилонскую башню с использованием этого ошибочного знания. Хотя, все знают, как закончилась её история. Урок на будущее!

Древнеегипетские математики были более точны и определяли его как 3,16, в Индии считали отношение равным √10. Но, без сомнения, самый важный прорыв в изучении числа Пи сделал Архимед.

Как он рассчитал число π ?

Архимед дал оценку числа π, используя "метод исчерпывания", разработанный еще Евклидом. Для этого Архимед описывал и вписывал в окружность шести-, двенадцати- и так далее до 96-угольника.

Источник: https://www.askiitians.com/onlinetest/forumsimages/841_41804_circumscribed_WEB.gif
Источник: https://www.askiitians.com/onlinetest/forumsimages/841_41804_circumscribed_WEB.gif
Источник: https://www.askiitians.com/onlinetest/forumsimages/841_41804_circumscribed_WEB.gif

Окружность, таким образом, как бы зажималась между многоугольниками, и с увеличением количества углов, их периметр (Архимед умел его вычислять для произвольного многоугольника) всё лучше и лучше приближал длину окружности. Оценка была тем более точной, чем больше сторон у многоугольников. Дойдя до 96-угольника Архимед заключил, что отношение длины окружности к её радиусу примерно равно 3,14, что очень неплохо для почти любых хозяйственных расчетов.

Результаты Архимеда
Результаты Архимеда
Результаты Архимеда

Затем началась настоящая гонка: Птолемей рассматривал 720-угольник, через полторы тысячи лет Франсуа Виет использовал 393216-угольник, получив 10 знаков, а в конце 17 века Людольф Ван Цейлен находит 35 верных знаков числа π , оперируя чудовищным 32515254720 - угольником, потратив на эти расчеты более (!!!) 10 лет.

Отвечая на немой вопрос: все эти математики, конечно, не производили геометрических построений, а пользовались тем фактом, что разница в площади многоугольников формирует геометрическую прогрессию с показателем 4.

Увеличивать количество углов дальше не представлялось рациональным даже самым упорным математикам, ведь все вычисления приходилось проводить вручную. К счастью, наступил 18 век, и пришла эпоха математического анализа, а конкретно её область, изучающая бесконечные ряды. "Первой ласточкой" было установление Яковом Грегори формулы представления арктангенса числа:

Если подставить в эту формулу вместо x единицу, получим слева число π/4, а справа сумму вида (1-1/3)+(1/5-1/7)+(1/9-1/11) + ...

Несмотря на то, что для получения лишь 4 верных знаков требовалось вычислить сумму 300 слагаемых, это был шаг вперед. Теперь не требовалось проводить утомительных вычислений квадратных корней, как в случае с "методом исчерпываний".

Леонард Эйлер, которому, кстати, и приписывают устоявшееся обозначение числа π, использовал следующую доказанную им формулу для нахождения более чем 100 верных знаков:

Еще пару сотен лет, математики продолжали придумывать такого рода формулы и довели количество верных знаков до 519 к середине 19 века. После этого произошел небольшой застой, который, как Вы легко догадаетесь, закончился с изобретением ЭВМ в середине 20 века.

Пример формулы, через которые компьютеры считали знаки числа π
Пример формулы, через которые компьютеры считали знаки числа π
Пример формулы, через которые компьютеры считали знаки числа π

В 1949 году отец информационного века Джон Фон Нейман на компьютере ЭНИАК за 70 часов вычислил более 2000 знаков числа π. Сравните, это время с 10 годами, потраченными Ван Цейленом!

В настоящее время рекорд по вычислению числа π составляет 31,4 триллиона знаков после запятой!

На этом экскурс в историю закончен: в следующем материале я расскажу еще много удивительных фактов про самую великую математическую константу! Например, что будет если принять её равной 3?

Есть, что добавить в историческом плане? Пишите в комментариях!

Читайте мой материал про самые красивую математическую картину

Путеводитель по каналу "Математика не для всех" - здесь собрано больше 100 статей на самые разнообразные темы: как для новичков, так и для более начитанных математиков!
Второй проект - канал "Русский язык не для всех"

Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием. ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.

**************************************************************************