35 297 subscribers

Самый красивый метод доказательства на простом примере. Метод математичечской индукции

2,6k full reads
3,8k story viewsUnique page visitors
2,6k read the story to the endThat's 70% of the total page views
1,5 minute — average reading time

Сегодня покажу, как Ваши догадки о решении той или иной задачи могут быть строго доказаны.

Огастен де Морган - автор современного термина "математическая индукция"Источник: https://www.maa.org/sites/default/files/images/upload_library/46/Swetz_2012_Math_Treasures/U-California/DM-1.png
Огастен де Морган - автор современного термина "математическая индукция"Источник: https://www.maa.org/sites/default/files/images/upload_library/46/Swetz_2012_Math_Treasures/U-California/DM-1.png

Про метод математической индукции я уже писал на своём канале - вот тот материал. За следующее описание метода прошу не отрывать мои пальцы:

  • Вкратце: доказывая "что-то" через индукцию мы проверяем, что это "что-то" верно при n=1, затем предполагаем, что это "что-то" верно при n=k, а затем проверяем, верно ли это "что-то" при n=k+1. Если получится, лавры победителя Ваши.

Давайте на конкретном примере:

Самый красивый метод доказательства на простом примере. Метод математичечской индукции

Для начала необходимо прикинуть, чему будут равны частные суммы этого ряда. Для того, чтобы понять тенденцию, найдем хотя бы три:

Самый красивый метод доказательства на простом примере. Метод математичечской индукции

Чувствуете? Во-первых, числитель итоговых дробей всегда на единицу меньше, чем знаменатель. Знаменатель, в свою очередь, равен последовательным значениям факториала. В итоге пишем предполагаемую формулу:

Самый красивый метод доказательства на простом примере. Метод математичечской индукции

Ну а теперь включаем математическую индукцию. Проверяем формулу (1) для n=1:

Самый красивый метод доказательства на простом примере. Метод математичечской индукции

Затем начинаем заниматься предположениями для n=k и выводим из этого формулу для следующего по порядку n=k+1:

Самый красивый метод доказательства на простом примере. Метод математичечской индукции

Общая логика такова: предполагаем нашу формулу для n=k верной, затем на основании неё записываем формулу для n=k+1. Теперь пользуясь этим предположением и тем, что для n=1 формула работает, приходим к тому же ответу с двух сторон. Доказательство окончено! Спасибо за внимание!