Стержень Витгенштейна: угадаете его траекторию с первого раза ? | Математика не для всех | Яндекс Дзен
33 573 subscribers

Стержень Витгенштейна: угадаете его траекторию с первого раза ?

4,8k full reads
6,1k story viewsUnique page visitors
4,8k read the story to the endThat's 79% of the total page views
1,5 minute — average reading time

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу рассказать Вам об одном интересном геометрическом объекте - стержне Витгенштейна. Вопреки всем ожиданиям, этот стержень во время своего движения формирует очень интересную, на первый взгляд, контринтуитивную картину. Посмотрим подробнее! Поехали!

Что такое стержень Витгенштейна

Не стоит путать его с т.н. «кочергой Витгенштейна» - известной философской прибауткой. Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/Wittgenstein_rod.svg/1200px-Wittgenstein_rod.svg.png
Не стоит путать его с т.н. «кочергой Витгенштейна» - известной философской прибауткой. Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/Wittgenstein_rod.svg/1200px-Wittgenstein_rod.svg.png
Не стоит путать его с т.н. «кочергой Витгенштейна» - известной философской прибауткой. Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/Wittgenstein_rod.svg/1200px-Wittgenstein_rod.svg.png

Итак, посмотрите на рисунок выше. Зеленым цветом выделен стержень длиной R, который продет в закрепленную в неподвижной точке S гильзу. Один конец стержня P описывает на стене окружность C. Вопрос состоит в том, какую траекторию опишет другой конец Q ?

Сразу может показаться, что ответ на этот вопрос тривиален: конечно, в результате конец Q опишет какую-либо окружность с радиусом, зависящим от радиуса окружности C и крепления точки подвеса S. Но реальность оказывается намного сложнее:

Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cc/Wittgenstein%27s_Rod_2.gif
Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cc/Wittgenstein%27s_Rod_2.gif
Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cc/Wittgenstein%27s_Rod_2.gif

Точка Q опишет намного более сложную фигуру: инверсированную кардиоиду, которая будет принимать причудливые формы в зависимости о геометрических характеристик системы:

Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/91/Wittgenstein%27s_Rod_1.gif
Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/91/Wittgenstein%27s_Rod_1.gif
Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/91/Wittgenstein%27s_Rod_1.gif
Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/Wittgenstein%27s_Rod_4.gif/300px-Wittgenstein%27s_Rod_4.gif
Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/Wittgenstein%27s_Rod_4.gif/300px-Wittgenstein%27s_Rod_4.gif
Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/Wittgenstein%27s_Rod_4.gif/300px-Wittgenstein%27s_Rod_4.gif

Стержень Витгенштейна прекрасно описывает сущность инерции: при движении точки Q не только сохраняется величина вектора инерции, но и его направление в точку закрепления S. Действительно, если бы точка Q описывала окружность, то в какой-то момент направление вектора изменилось бы на противоположное, что противоречит механическим принципам.

Вектор инерции всегда направлен в точку подвеса. Поэтому при обороте дуга "сплющивается"
Вектор инерции всегда направлен в точку подвеса. Поэтому при обороте дуга "сплющивается"
Вектор инерции всегда направлен в точку подвеса. Поэтому при обороте дуга "сплющивается"

Самое интересное в том, что такую форму имеет огромное количество явлений в окружающем нас мире: от капель воды и языков пламени до графика изменения скорости лодки после броска камня и формы листьев некоторых растений. Математика поистине фундаментальна!

Источник: https://www.sunhome.ru/i/wallpapers/57/oboi-kaplya-vodi.orig.jpg
Источник: https://www.sunhome.ru/i/wallpapers/57/oboi-kaplya-vodi.orig.jpg
Источник: https://www.sunhome.ru/i/wallpapers/57/oboi-kaplya-vodi.orig.jpg

А пока что предлагаю Вам прочитать мой материал про еще одну замечательную кривую – циклоиду.

Путеводитель по каналу "Математика не для всех"
Второй проект - канал "Русский язык не для всех" ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.