Теорема Чебышева как фундамент современной теории вероятностей

11 May 2020
6,4k full reads
1,5 min.
9,8k story viewsUnique page visitors
6,4k read the story to the endThat's 66% of the total page views
1,5 minute — average reading time
Теорема Чебышева как фундамент современной теории вероятностей

Погружаясь в мир случая. важно понимать, что значение случайной величины в любой момент времени возможно определить лишь с некоторой вероятностью. Казалось бы, наши знания достаточно ограничены, чтобы определить какие-либо закономерности в поведении случайных величин и давать прогнозы хотя бы в первом приближении. Именно эту проблему и решил знаменитый русский математик Пафнутий Львович Чебышев, сформулировав свою знаменитую теорему.

Источник: https://zen.yandex.ru/id/5ea986b87c806053df507911
Источник: https://zen.yandex.ru/id/5ea986b87c806053df507911

В чем суть теоремы Чебышева?

Для практики очень важно по небольшой выборке объектов сделать выводы о том или ином свойстве генеральной совокупности. Именно здесь в дело вступает закон больших чисел, строго говоря, состоящий из теорем Чебышева (наиболее общего) и Бернулли (частного).

Текстовая формулировка: при неограниченном увеличении числа независимых испытаний значение случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию.
Берем самый простой случай: дисперсия (разброс) ограничена, испытания проводятся одинаково, среднее от математических ожиданий равно математическому ожиданию случайной величины.
Берем самый простой случай: дисперсия (разброс) ограничена, испытания проводятся одинаково, среднее от математических ожиданий равно математическому ожиданию случайной величины.
На пальцах это звучит так: хотя мы и не можем предсказать конкретное значение случайной величины, мы можем с вероятностью, близкой к единице, определить её среднее арифметическое, чего будет более чем достаточно на практике.

Важное свойство: среднее арифметическое в данному случае уже не является случайной величиной!

Конкретных примеров применения теоремы Чебышева в реальной жизни огромное количество:

1. Проведение измерений: при достаточно большом количестве измерений, например, напряжения в сети, можно получить значение, сколько угодно близкое к истинному.

2. Проверка качества. Нет необходимости, например, проверять всю партию однообразных товаров, а достаточно выборочной проверки.

3. Страхование. Рассматривая величину страхового взноса, страховщик обладает определенной информацией о вероятности наступления страховых случаев и возможных потерях клиента от них. По теореме Чебышева найдя среднее арифметическое от этих убытков, страховщик может определить идеальную величину страхового взноса: выгодную для него и привлекательную для клиента.

4. Финансовые рынки. Проведение большого числа финансовых операций с известной средней ожидаемой доходностью лежит в основе диверсификации рисков.

Короткое интересное поясняющее видео:

************************************************************************

Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием.

**************************************************************************

О чем я еще пишу:

Зачем нужна математика во взрослой жизни?
Про математиков-фронтовиков
Про математическое образование в СССР
Математика коронавируса