40 218 subscribers

Убойная олимпиадная задача по математике из США. Поломайте голову

10k full reads

Геометрические задачи зачастую могут пленить своей красотой. Сегодня решим как раз такую. Она примечательна не только кратким условием, но и тем, что предлагалась для решения американским школьникам, проходившим отбор в команду США на международную математическую олимпиаду в далеком 2001 году. Условие:

Убойная олимпиадная задача по математике из США. Поломайте голову

Найти площадь заштрихованного треугольника, если площадь прямоугольника равна 10. Условие скудновато, но ничего страшного. Общая канва доказательства такая: найти искомую площадь как разность двух площадей треугольников. Попробуйте сами, а потом смотрите решение.

******************************************************************************

РЕШЕНИЕ

******************************************************************************

Убойная олимпиадная задача по математике из США. Поломайте голову

Заштрихованные треугольники на рисунке подобны по двум углам: смежному и при основаниях прямоугольника. Отличная новость: значит мы можем легко найти отношение их высот, как отношение двух сторон: S/2 на S/3. Получили выражение для x. Едем дальше:

Убойная олимпиадная задача по математике из США. Поломайте голову

Построили еще один треугольник и абсолютно аналогичным образом находим соотношение высот. Все исходные данные собраны! Возвращаемся к исходному рисунку:

Убойная олимпиадная задача по математике из США. Поломайте голову

Находим ответ как разность площадей треугольников. Самое классное, что ответ не зависит от соотношения сторон прямоугольника: как бы мы его не сжимали или растягивали, при неизменной площади, ответ тоже не поменяется. Спасибо за внимание! Предлагайте в комментариях свои решения задачи!

Убойная олимпиадная задача по математике из США. Поломайте голову