38 499 subscribers

Удивительная функция, у которой нет производной. Такое может быть!

10k full reads

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу рассказать Вам о чрезвычайно простой, но часто применяемой в математике функции, у которой не существует производной.

Странно, неправда ли? Ведь мы привыкли, что если производную не получается найти, то причина в кривых руках. Однако наша гостья не оставит Вам никаких шансов. Встречайте:

Удивительная функция, у которой нет производной. Такое может быть!

Эта функция, которую называют знаковой функцией записывается алгебраически следующим образом:

Удивительная функция, у которой нет производной. Такое может быть!

Почему же у неё именно нет производной? Дело в том, что в точке 0 она допускает скачок, т.е. резко изменяет значение, делая график прерывистым.

Если попробовать найти пределы слева и справа от нуля, то они окажутся равными -1 и 1, так что с производной на этих интервалах всё понятно: она существует в общепринятом виде и равна 0:

Удивительная функция, у которой нет производной. Такое может быть!

Но производная функции в точке 0 трактуется абсолютно непонятно! С геометрической точки зрения не ясно, как рисовать касательную, с другой стороны - непонятно, насколько быстро функция изменяется, да и вообще как задавать приращение, чтобы вычислить производную по определению?

Точка 0 называется точкой разрыва первого рода, аналогичная указана на рисунке. Все функции с разрывом такого рода не будут иметь производной на всей вещественной оси:Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/Discontinuity_jump.eps.png/964px-Discontinuity_jump.eps.png
Точка 0 называется точкой разрыва первого рода, аналогичная указана на рисунке. Все функции с разрывом такого рода не будут иметь производной на всей вещественной оси:Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/Discontinuity_jump.eps.png/964px-Discontinuity_jump.eps.png

Если говорить математически, то функция sgn(x) (как, впрочем, и все разрывные функции) не удовлетворяет теореме о промежуточном значении: на самом деле, например, на отрезке [-1;1] функция принимает всего лишь три значения - 1,0 и -1,в то время как "нормальные" непрерывные функции, имеющие производную принимали бы последовательно все значения на любом таком интервале:

Видно, что функция f(x) принимает каждое из значений на отрезке [a,b]. На рисунке так же представлено следствие из теоремы о промежуточном значении: если на таком отрезке функция меняет знак, то на этом отрезке найдется точка, где f(c)=0
Видно, что функция f(x) принимает каждое из значений на отрезке [a,b]. На рисунке так же представлено следствие из теоремы о промежуточном значении: если на таком отрезке функция меняет знак, то на этом отрезке найдется точка, где f(c)=0
Таким образом, у нас просто не может быть производной, так как сама функция не удовлетворяет базовым условиям.

Если бы всё было так просто

Однако в математике есть особый раздел (кто бы сомневался!), который и для такого гадкого утенка позволит найти производную, но уже в обобщенном смысле.

Речь идёт о теории обобщенных функций, придуманных для решения задач в области дифференциальных уравнений, теоретической и математической физики.

Необходимость во введении этого понятия, возникла при попытке дать строгое описание сосредоточенных (в точке, на поверхности, во времени) объектов,которые являются удобными физическими идеализациями - прямоугольный импульс, диполь, волновой фронт и т.д.

Сергей Львович Соболев - советский математик, занимавшийся математическим анализом и дифференциальными уравнениями в частных производных. Именно он впервые строго описал обобщенные функции. Источник: https://fb.ru/misc/i/gallery/10809/3148085.jpg
Сергей Львович Соболев - советский математик, занимавшийся математическим анализом и дифференциальными уравнениями в частных производных. Именно он впервые строго описал обобщенные функции. Источник: https://fb.ru/misc/i/gallery/10809/3148085.jpg

Интересно, что в этой теории говорят о слабых производных. Так вот, в этом смысле у функции sgn(x) есть вполне себе производная, которая выражается через не менее простую дельта-функцию Дирака:

Удивительная функция, у которой нет производной. Такое может быть!

Эта функция равна единице в точке 0, а во всякой другой точке - нулю. Слабая производная функции sgn(x) равна удвоенной функции Дирака.

С другой стороны, занимательно узнать, что сама функция sgn(x) является производной от функции модуля:

Удивительная функция, у которой нет производной. Такое может быть!

Значения sgn(x) слева и справа от нуля как раз соответствуют наклону "усов" модуля. В точке 0, строго говоря, опять провал. Спасибо за внимание!

  • Ставьте "Нравится" этому материалу и подписывайтесь на канал! Математика не для всех, но на любой вкус: сегодня теорема Коши, а завтра - фокус для всей семьи!
  • TELEGRAM и Facebook - там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.