Унарные операции над множествами. Часть 4. Всё проще, чем Вы думаете!

22 May 2020
746 full reads
1,5 min.
2,2k story viewsUnique page visitors
746 read the story to the endThat's 33% of the total page views
1,5 minute — average reading time

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграмм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы.

Внимание: важная информация перед прочтением!

Если Вы новичок в теории множеств, ознакомьтесь, пожалуйста, со следующими материалами канала:

В ходе подготовки к изучению математической топологии мы уже рассмотрели, основные понятия теории множеств , а также бинарные операции .

Напомню, что бинарные операции отождествляют для двух аргументов одно единственное значения. В контексте рассматриваемого материала к ним относятся: объединение, пересечение, разность (симметричная разность) и декартово произведение множеств. Теперь же обратимся к операциям унарным, т.е. предполагающим один аргумент на входе и один единственный результат.

Первая из унарных операций – это дополнение множества, и она тесно связана операцией разности. Дополнение определяется следующим образом:

Три горизонтальные черты означают «тождественно» (дополнение можно обозначать двумя способами).

Выражение читается следующим образом: дополнение множества А содержит такие x, которые не принадлежат А. Когда говорят о дополнении отдельного множества оперируют таким понятием как универсальное множество (универсум).

В разных разделах математики универсум может различаться: так, в элементарной арифметике – это будет множество целых чисел. Тогда дополнением множества А= {-1,3,5} будет множество B, включающее в себя все остальные целые числа.

У универсального множества есть ряд свойств. Прежде чем перейти к ним, давайте представим, что мы изучаем ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО цифры и оперируем ТОЛЬКО объектами, входящими в универсальное множество U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}. Т.е. буквально наш раздел математики ВООБЩЕ больше не рассматривает других цифр (может быть, так понятнее). Итак, свойства:

1) Все объекты входят в универсальное множество. Действительно, мы не знаем цифр, отличающихся от нами изучаемых.

2) Любое множество является подмножеством универсального. Возьмем множество B={1,2,5}. Оно является подмножеством универсума, впрочем, как и любое другое множество цифр.

3) Объединение универсального множества с любым множеством является универсальным множеством. Напомню, что операция объединения сопоставляет двум множествам другое множество, в которое входят элементы обоих. Тогда, например, объединение множества B={1,2,5} и универсального множества U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0} всё так же равно U.

4) Объединение любого множества с его дополнением равно универсальному множеству. Возьмем множество B={1,2,3,5}, его дополнение относительно универсума равно {4,6,7,8,9,0}. Тогда объединение множества В и его дополнения равно универсуму.

5) Пересечение универсального множества с любым множеством равно последнему множеству. Опять же, возьмем множество B={1,2,3,5}. Напомню, пересечение множеств сопоставляет двум множествам только те элементы, которые принадлежат обоим множествам. Таким образом, если сравнить множество B и U, обоим множествам будут принадлежать элементы {1,2,3,5}, т.е. входящие в B.

6) Разность любого множества и универсального равно пустому множеству. Напомню, что в разности множеств важен порядок аргументов. Пусть B={1,2,3,5}. Разность множеств сопоставляет двум множествам те элементы, которые есть в первом, но нет во втором множествах. Так как все элементы множества B входят в U, разность представляет собой пустое множество.

7) Дополнение универсального множества есть пустое множество (см. определение дополнения выше по тексту).

Итак, подразумевается, что это универсум включает в себя не только А, но и вообще все объекты и все множества. Тогда дополнение можно определить следующим образом:

Таким образом дополнение – с небольшой поправкой является как бинарной, так и унарной операцией.

Важно свойство дополнения в том, что оно является инволюцией, т.е. дополнение от дополнения множества равно самому множеству (проверьте сами!)

Еще одной унарной операцией является булеан множества. По определению булеан – это множество всех подмножеств данного множества (включая пустое множество). Для множества А булеан обозначается P(A). Например, вот хороший пример булеана для понимания. Пусть дано множество А={1,2,3}, тогда булеан будет состоять из таких подмножеств:

Количество этих подмножеств называется мощностью конечного булеана и вычисляется по формуле 2^n, где n – количество элементов множества. Тогда P(A) = 8.

Булеан часто применяется в обычной жизни, но мы этого не замечаем. Например, когда Вы приходите в магазин, Вы выбираете подмножества из множества всех товаров, представленных в супермаркете. Выбрав для посещения бакалею, вино-водочный отдел и кулинарию, Вы таким образом выберите подмножества всех отделов супермаркете.

На этом всё. Если Вы ознакомились с прошлыми моими материалами по теории множеств, можно считать, что ознакомительный курс для Вас закончен. Остались только два жизненно важных вопроса: законы де Моргана (там же познакомимся с диаграммами Эйлера-Венна), а также аппарат отображения множеств, критически важный для дальнейшего изучения математической топологии.

ПОДПИСЫВАЙТЕСЬ! Этим Вы максимально мотивируете меня на создание интересного и познавательного контента. Ведь, если математика не для всех, то не значит, что она не для Вас конкретно!

Курс "Введение в математическую топологию"

Список материалов для начинающего математика: