35 955 subscribers

Вы знали, что есть теорема косинусов для 4-угольника? Соотношение Бретшнайдера

2,5k full reads
4,2k story viewsUnique page visitors
2,5k read the story to the endThat's 61% of the total page views
1 minute — average reading time

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Продолжаем удивительное геометрическое путешествие. Сегодня я хочу рассказать Вам об аналоге теоремы косинусов для четырехугольников - соотношении Бретшнайдера. Поехали!

Карл Антон Бретшнайдер - немецкий математик. Источник: Карл Антон Бретшнайдер
Карл Антон Бретшнайдер - немецкий математик. Источник: Карл Антон Бретшнайдер

Итак, пусть имеется четырехугольник, у которого известны длины сторон и диагоналей:

Вы знали, что есть теорема косинусов для 4-угольника? Соотношение Бретшнайдера

Проведем дополнительные построения на сторонах (выделены жирным цветом на чертеже):

Вы знали, что есть теорема косинусов для 4-угольника? Соотношение Бретшнайдера

Построение таково, что у нас появляются четыре пары равных углов (отмечены на чертеже 1-ой,2,3-мя дугами и одной ломаной). Полученные треугольники подобны соответственно:

Вы знали, что есть теорема косинусов для 4-угольника? Соотношение Бретшнайдера

Используя свойство сторон подобных треугольников, получаем следующие соотношения (я вывел эти треугольники отдельно, чтобы было более понятно):

Вы знали, что есть теорема косинусов для 4-угольника? Соотношение Бретшнайдера

Таким образом, из этих равенств получаем:

Вы знали, что есть теорема косинусов для 4-угольника? Соотношение Бретшнайдера

Ключевой момент доказательства в том, чтобы установить, что BFED - параллелограмм. Во-первых, уже известно, что его противоположные стороны BF и DE равны. Тогда для достижения цели необходимо лишь доказать, что они параллельны:

Вы знали, что есть теорема косинусов для 4-угольника? Соотношение Бретшнайдера

Здесь мы получили, что сумма двух углов четырехугольника равна 180 градусов, а следовательно BF и DE параллельны. В последней строчке мы пользуемся свойством параллелограмма: его противоположные стороны попарно равны.

На следующем шаге обращаем внимание, что:

Взгляните на чертеж: угол EAF - это угол А + два угла, которые в сумме дают угол С
Взгляните на чертеж: угол EAF - это угол А + два угла, которые в сумме дают угол С

Теперь записываем теорему косинусов для треугольника FAE и после тривиальных преобразований получаем:

Вы знали, что есть теорема косинусов для 4-угольника? Соотношение Бретшнайдера

Вот мы и получили теорему косинусов для четырехугольника. Обратите внимание, что, если сумма углов А и С будет равна 180 градусам (а это значит, что четырехугольник можно вписать в окружность), косинус угла будет равен минус -1, а из оставшихся членов можно легко получить теорему Птолемея, про которую я не раз рассказывал.

Спасибо за внимание! Ставьте "Нравится" этой публикации и подписывайтесь на канал!

Читайте также: