Задача про жестяные банки: решим с помощью производной, хоть она и "не нужна никому, кроме математиков"

27 July 2020
3,8k full reads
2 min.
5,4k story viewsUnique page visitors
3,8k read the story to the endThat's 71% of the total page views
2 minutes — average reading time

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!

Наверное, самое большое заблуждение людей, не знающих математику состоит в том, что производная не нужна. В этом материале я не буду расписывать формальное определение производной: оно в рамках статьи не имеет особого значения. Однако реальную практическую задачу с удовольствием покажу, как решать. Поехали!

Условие задачи

На заводе по производству жестяных изделий происходит "оптимизация", (сарказм) в рамках которой необходимо понять, как снизить расход жести на консервные банки. Какой формы они должны быть? Какое соотношение размеров ?

В условии нет даже ни одной цифры, как же подступиться к этой задаче?

Начинаем с математической модели. Во-первых, мы же не бдуем изобретать велосипед и менять технологический цикл и делать консервные банки, например, квадратными. Так что примем, что банки останутся цилиндрообразными.

Расход жести - это площадь поверхности цилиндра (толщина пусть везде одинакова). Если обозначить через V необходимую емкость банки, то задача переформулируется следующим образом:

Найти размеры цилиндра с объемом V, чтобы площадь его поверхности была минимальна.

"Cherchez la dérivée" там, где в задаче есть слова "максимальный" или "минимальный".

Полная поверхность цилиндра состоит из площадей оснований и площади боковых стенок.

h - высота цилиндра
h - высота цилиндра
h - высота цилиндра

В этом выражении две неизвестных : радиус r и высота h. Чтобы свеcти его к одной переменной вспомним, что дан объем V, через который можно выразить, например, высоту:

Наконец, в дело вступает производная: функция есть, есть задача найти ее минимум при r > 0 (размеры банки положительные).

Вспоминаем, что производная суммы равна сумме производных:

В квадратных скобках формулы в общем виде
В квадратных скобках формулы в общем виде
В квадратных скобках формулы в общем виде

Для продолжения необходимо приравнять производную от площади поверхности к нулю:

В этой точке производная равна 0, а значит в ней может находиться один из экстремумов функции. Сделаем небольшой рисунок:

Таким образом, функция площади поверхности имеет минимум в указанной точке. Радиус мы нашли, осталось найти высоту цилиндра. Для этого выразим её из полученного r:

Таким образом, минимальный расход жести при фиксированном объеме банки в том случае, когда диаметр основания цилиндра равен его высоте. Если экстраполировать эти расчеты на огромное количество выпускающихся консервных банок, экономия может быть очень и очень значительной.

Помните, инструмент оптимизатора - производная, а не пила!
Источник: https://s.mediasole.ru/images/279/279212/original.jpg
Источник: https://s.mediasole.ru/images/279/279212/original.jpg
Источник: https://s.mediasole.ru/images/279/279212/original.jpg

**************************************************************************

Путеводитель по каналу "Математика не для всех" - здесь собрано больше 100 статей на самые разнообразные темы: как для новичков, так и для более начитанных математиков! Например, Вы знали, что у квадратного уравнения может быть больше 2 корней ?
Второй проект - канал "Русский язык не для всех"

Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием. ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.

**************************************************************************