Какая-то бесконечная теорема косинусов

18 January
674 full reads
846 story viewsUnique page visitors
674 read the story to the endThat's 80% of the total page views
1,5 minute — average reading time

В Незадаче дня мы решали задачку, которая выглядит незамысловато:

Синий и желтые треугольники правильные. Площади желтых равны 9 и 16. Найти площадь зелёного.

Вадим Романский написал, что это какая-та бесконечная теорема косинусов. И правда, по теореме косинусов можно было бы найти сторону MN в треугольнике KMN, а потом из треугольников CNB и CMA находить стороны зеленого треугольника. Углы его тоже можно найти через теорему косинусов, а уж потом вычислять площадь.

Но это путь беспощадный.

Сергей Соколин придумал дополнительное построение -- еще один правильный треугольник (а вы часто встречали такое дополнительное построение?)

Начертим правильный треугольник АВР.

Углы MCN и MPN равны по 60 градусов, поэтому четырехугольник MCPN вписанный. А тогда равны углы CPM и CNM, и прямые CP и АВ параллельны.

На этом идейная часть решения практически закончилась. Из-за параллельности равны площади треугольников АВС и АВР, и остается только найти площадь правильного треугольника.

Лёня Пантелеев для этого использует подобие правильных треугольников:
a : b : (a+b)=3 : 4 : 7
S_а : S_b : S_c = 9 : 16 : 49?

Ответ 49.

Какие вам встречались удивительные дополнительные построения?