Маленький геометрический сериал. Какая серия следующая?

29 December 2020
251 full read
426 story viewsUnique page visitors
251 read the story to the endThat's 59% of the total page views
1 minute — average reading time

Читая условия задач, иногда задумываешься, как можно было такое сочинить. Я хочу рассказать, про серию задач, которые шаг за шагом далеко ушли от исходной идеи.

Все началось с бумажного квадрата, который сложили так, как на фото 1. А потом развернули и сделали фото 2. Надо просто присмотреться и увидеть, какие треугольники совпадали при наложении. У всех этих прямоугольных треугольников есть единичный катет. (За единицу взяли сторону квадрата.)

Есть и совпадающие при наложении углы, это помогает найти величину угла на сложенном бумажном квадрате — 45 градусов (как на фото 3). Сделаем еще один сгиб — по диагонали. Небольшой счет углов показывает, что равны одинаково отмеченные красным углы. И потому треугольники BMK и BFE подобны. Посмотрим, как относятся их высоты.

В треугольнике EFB высота BH равна стороне квадрата, то есть 1. В треугольнике BMK высота ВК — половина диагонали квадрата, то есть 1/√2. Это и есть коэффициент подобия, площади треугольников относятся как его квадрат, или как 1:2.

Забудем теперь про перегибания бумаги.

По данным рисунка теперь должно быть легко найти отношение зеленой площади к голубой.

Следующую картинку я утащила из твиттера.

В этой задаче вместо квадрата взяли правильный пятиугольник, а вместо угла 45 градусов — угол 72 градуса. И тоже нужно найти отношение голубой площади к зеленой.

Способов решения здесь много; можно провести дополнительные диагонали. Небольшой счет углов показывает равенство одинаково отмеченных красным углов. Значит, треугольники MQG и MTU подобны. Стороны MQ и MT относятся так же, как MG и MU, то есть (√5-1):2. Да и стороны MP и MS относятся так же, это можно показать по аналогии. Раз мы нашли отношение сторон треугольников MPQ и MST, можем найти отношение их площадей, это (3-√5):2. Осталось аккуратно посчитать ответ, и оказывается, что нужное отношение площадей А:В представляет собой золотое сечение Ф.

Константин Кноп сделал еще шаг — к шестиугольнику.

Здесь для разнообразия требуется найти отношение желтой площади к красной.

Дильназ Уалиева предложила провести диагонали в четырехугольнике, ну и немного посчитать углы, куда без этого.

ABME, NBCD - вписанные четырехугольники, поэтому отмеченные углы равны (=30). Тогда NMDE — вписанный четырехугольник => BNM~BDE. Коэф подобия равен BM/BE=1/sqrt(3). Значит, отношение площадей BDE к BNM равно 3. Ответ: 2.

Задачи решены, но это не главное. Главное — чему-нибудь научиться на решении. Мы получили последовательность из трех задач, они явно похожи. Какой должна быть следующая задача в этой последовательности?

И вот еще над чем стоит подумать: Должно же быть во всех этих задачах какое-то общее то явление! В чем оно заключается?