Модели геометрии Лобачевского

14 December 2020
Модели геометрии Лобачевского

Наверно, все знают, что сделал Лобачевский? Как и многие до него после своего открытия, он столкнулся с человеческим консерватизмом. Слава всем богам, что в те времена не так была распространена практика сжигать учёных на костре.

К счастью, довольно быстро у геометрии Лобачевского появились сторонники, а вслед за этим стали появляться модели геометрии Лобачевского. Они помогли доказать непротиворечивость неевклидовой геометрии. Рассмотрим несколько вариантов. Мы будем моделировать объекты из неевклидовой геометрии привычными нам объектами евклидовой геометрии. Чтобы не сильно увлекаться рассмотрим только самое интересное: плоскость, прямая, параллельные прямые, аксиома параллельности.

Модель Пуанкаре в верхней полуплоскости

Эту модель создал итальянский математик Эудженио Бельтрами. Ничего необычного в том, что она называется именем другого математика. Это традиционная практика.

Возьмем евклидову плоскость и проведём прямую (абсолют), она разделяет плоскость на две полуплоскости, одну из них будем считать плоскостью Лобачевского. Обращаю ваше внимание на то, что прямая, которую мы провели, не входит в плоскость Лобачевского.

Любой евклидов луч с началом в точке лежащей на абсолюте и перпендикулярный ему, а также евклидова полуокружность с центром на абсолюте будут являться прямыми плоскости Лобачевского. Здесь может быть несколько вариантов параллельных прямых:

Модели геометрии Лобачевского

Также можно проиллюстрировать аксиому параллельности: "Через точку вне прямой можно провести по крайней мере две прямые параллельные данной".

Модели геометрии Лобачевского

Помимо параллельных прямых в геометрии Лобачевского существуют также сверхпараллельные прямые (Люди икс, все дела). Это прямые которые не пересекают данную, но и не параллельны ей. Их бесконечно много. Столько, конечно, не нарисуем, но несколько штук для понимания изобразим.

Модели геометрии Лобачевского
Модель Бельтрами — Клейна

В этом случае оба ученых Эудженио Бельтрами и Феликс Клейн предложили похожие модели независимо друг от друга.

Возьмем евклидову окружность (абсолют), её внутренняя область (круг, который она ограничивает) будет плоскостью Лобачевского. Сама окружность не входит в плоскость, поэтому эту модель называют моделью в открытом круге.

В качестве прямых Лобачевского будем рассматривать евклидовы хорды окружности.

Модели геометрии Лобачевского

Прямые будут параллельны, если хорды имеют общую точку на абсолюте.

Модели геометрии Лобачевского

Опять же мы можем провести две прямые параллельные данной и проходящие через данную точку и множество прямых свехпараллельных.

Модели геометрии Лобачевского

Забавнее всего, как с помощью этих моделей можно решать задачи в геометрии Лобачевского. Хотите статью на эту тему?