21 852 subscribers

Олимпиадная задача про драконов для шестиклассников

462 full reads
813 story viewsUnique page visitors
462 read the story to the endThat's 57% of the total page views
2 minutes — average reading time
Из открытых источников
Из открытых источников
Из открытых источников

14 октября я поместил олимпиадная задачу для пятиклассников на двух сайтах. Обычная реакция на задачи по математике слабенькая, а тут взрыв интереса.

Олимпиадная задача для пятиклассников… и ещё две задачи | Наблюдатель |

Я уже подготовил заметку Логические задачи — от простой задачи к сложным, а сегодня получил олимпиадную задачу для шестиклассников. Начнём с неё, а потом посмотрим более сложные задачи с решениями.

1. В стране Драконии живут красные, зеленые и синие драконы. У каждого дракона три головы, каждая из которых всегда говорит только правду или всегда лжет. При этом у каждого дракона хотя бы одна голова говорит правду. Однажды за круглый стол сели 590 драконов, и каждый из них сказал:
1) 1-я голова: «Слева от меня сидит зеленый дракон».
2) 2-я голова: «Справа от меня сидит синий дракон».
3) 3-я голова: «Рядом со мной нет красного дракона».
Какое наибольшее количество красных драконов могло быть за столом?

Первое впечатление: не решить! Мы же не знаем, какая голова у какого дракона что говорит, всех вариантов и не перебрать. Но не будем торопиться. Просят указать наибольшее возможное число красных драконов. По доброте душевной мы бы указали 590 — и делу конец, но возможно ли это? Начнём с малого.

Может ли с драконом любого цвета (?) быть рядом два красных дракона (К) (рис. 1)? Оказывается нет, так как у дракона (?) ни одна голова не сможет сказать правды, что противоречит условию задачи.

Олимпиадная задача про драконов для шестиклассников
Олимпиадная задача про драконов для шестиклассников

Могут ли между двумя красными драконами сидеть два дракона других цветов и в каком порядке? Рассмотрим все возможные случаи (рис. 2-5).

Из двух драконов зелёного цвета (рис. 2) спросим того, что левее. Вот его ответы.

1) 1-я голова: «Слева от меня сидит зеленый дракон» — Л.
2) 2-я голова: «Справа от меня сидит синий дракон» — Л.
3) 3-я голова: «Рядом со мной нет красного дракона» — Л.

Этот случай невозможен.

Из двух драконов синего цвета  (рис. 3) спросим того, что правее. Вот его ответы.

1) 1-я голова: «Слева от меня сидит зеленый дракон» — Л.
2) 2-я голова: «Справа от меня сидит синий дракон» — Л.
3) 3-я голова: «Рядом со мной нет красного дракона» — Л.

Возможен ли случай, изображенный на рисунке 4?

Олимпиадная задача про драконов для шестиклассников
Олимпиадная задача про драконов для шестиклассников

Вот ответы синего дракона.

1) 1-я голова: «Слева от меня сидит зеленый дракон» — Л.
2) 2-я голова: «Справа от меня сидит синий дракон» — Л.
3) 3-я голова: «Рядом со мной нет красного дракона» — Л.

Такой случай (рис. 4) рассадки невозможен.

Возможен ли случай, изображенный на рисунке 5? Вот ответы зелёного дракона.

1) 1-я голова: «Слева от меня сидит зеленый дракон» — Л.
2) 2-я голова: «Справа от меня сидит синий дракон» — Истина (И).
3) 3-я голова: «Рядом со мной нет красного дракона» — Л.

А это ответы синего дракона.

1) 1-я голова: «Слева от меня сидит зеленый дракон» — И.
2) 2-я голова: «Справа от меня сидит синий дракон» — Л.
3) 3-я голова: «Рядом со мной нет красного дракона» — Л.

Такой случай рассадки (рис. 5) возможен, и он единственный для зелёного и синего драконов! Мы ищем наибольшее число красных драконов, поэтому увеличивать число зелёных и синих драконов между красными не будем. Выясним, можно ли соединить две такие цепочки, как на рисунке 5?

Олимпиадная задача про драконов для шестиклассников
Олимпиадная задача про драконов для шестиклассников

Спросим у красного дракона, оказавшегося посередине (рис. 6).

Его ответы.

1) 1-я голова: «Слева от меня сидит зеленый дракон» — Л.
2) 2-я голова: «Справа от меня сидит синий дракон» — Л.
3) 3-я голова: «Рядом со мной нет красного дракона» — И.

Итак, цепочку драконов при найденной рассадке можно наращивать.

Если бы у нас было 588 драконов, то мы соединили бы 196 троек К — З — С — по кругу и наибольшее число красных драконов было бы 196 (по одному в каждой тройке). Нам осталось посадить ещё двух драконов, чтобы всего их было 590. Добавить красного дракона нельзя, добавим синего и зелёного цвета. Такая рассадка существует (рис. 7). Проверкой убеждаемся, что у каждого синего и у каждого зелёного дракона найдётся голова, говорящая правду (проверьте).

Итак, наибольшее число красных драконов 196.

Ответ. 196.

#логические задачи

#математика

#олимпиадные задачи