Решайте задачи проще! — 2

355 full reads
858 story viewsUnique page visitors
355 read the story to the endThat's 41% of the total page views
2,5 minutes — average reading time
Из цитируемого источника
Из цитируемого источника
Из цитируемого источника

Продолжаю знакомить своих читателей с более простыми решениями задач, разбираемых на канале «Разные задачки». Предыдущая публикация [1].

На этот раз там приведены два способа решения задачи из ОГЭ. Использую авторский рисунок, дополнения сделаны чёрным цветом. Итак, задача.

Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 12, а площадь равна 18. [2]

Давайте используем дополнительное построение для второго способа решения, предложенного автором.

Итак, построим треугольник ABD, симметричный данному треугольнику относительно прямой AB и равный ему. Проведём высоту к боковой стороне полученного равнобедренного треугольника, боковые стороны которого 12, а площадь равна 36. Тогда из формулы площади треугольника получим, что DE = 6, а синус угла DAE в прямоугольном треугольнике DAE равен 6 : 12 = 0,5. Так как угол DAE в прямоугольном треугольнике DAE может быть только острым, то угол DAE равен 30 градусам, его половина — один из искомых острых углов 15 градусам (соответственные углы равных треугольников равны). Угол C равен 75 градусам.

Заметим, что возможен и другой случай. Точка E может лежать не на гипотенузе, а на её продолжении за точку A), тогда угол DAE равен 30 градусам, смежный с ним угол CAD равен 150 градусам, его половина 75 градусов, угол CAB равен 15 градусам.

В обоих случаях имеем один и тот же ответ.

Ответ. 15 и 75 градусов.

Чтобы не заводить новую статью, решим более простым способом ещё одну задачу с того же канала.

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания. [3]

Решайте задачи проще! — 2

Проведём в трапеции высоту AH и параллельный ей отрезок EF, проходящий через центр окружности O. По свойству четырёхугольника, описанного около окружности, имеем: AB + DC = AD + BC = 120 : 2 = 60. Тогда AD = BC = 60 : 2 = 30.

В авторском решении применена формула Брамагупты для вычисления площади вписанного четырёхугольника. Применим формулу площади трапеции и из равенства 540 = (AB + DC) * AH / 2 получим, что AH = 18. По теореме Пифагора из треугольника ADH найдём DH = 24. Тогда AB = (60 - 24 - 24) : 2 = 6, а CD = 60 - 6 = 54.

В подобных по двум углам треугольниках AOB и COD отношение соответственных высот OE : OF равно 6 : 54 = 1 : 9, тогда OE = 0,1 * EF = 1,8.

Ответ. 1,8.

Источники
1.
Громоздкая задача на тему «Окружность» уровня «9 класс».
2. Задача на нахождение углов прямоугольного треугольника по площади и гипотенузе. Рассматриваем два способа решения.
3. Задача на равнобедренную трапецию с вписанной в неё окружностью

#математика 

#геометрия 

#огэ по математике