В данной статье будем считать, что учащиеся уже обучены решать задачу «Найти число b, составляющее p % числа a» и две обратные задачи, приводящие к нахождению a и p из равенства b = a*p / 100.
Рассмотрим способы решения задач на проценты, требующих сравнения чисел в процентах. Это не простые задачи, они ставят в тупик и взрослых. Вот вам реальный случай.
В Комсомольской правде от 14.02.2019 обозреватель отдела экономики написал о монете, полученной из обращения за 1 р.: «А недавно глянул в каталог и обмер: стоит она уже 600 рублей… Называется «Юбилейный рубль «Пушкин» 1999 года выпуска. Как тут не воскликнуть: «Ай да Пушкин!» — 600 % прибыли за 20 лет!»
Давайте поправим обозревателя отдела экономики.
Задача 1. В 1999 году юбилейная монета стоила 1 р. В 2019 году она стоила 600 р. На сколько процентов подорожала монета?
Решение. I способ, Увеличение стоимости монеты в рублях составило
600 – 1 = 599 (р.). Мы сравниваем в процентах прибыль 599 р. с первоначальной стоимостью монеты 1 р., принимаемой за 100 %. Так как 599 р. в 599 раз больше, чем 1 р., то монета подорожала на 59900 %.
II способ, Число а больше, чем число b на (а – b)*100 % / b. Вычисляя по этой формуле, получим те же 59900 %.
Ответ. На 59900 %.
Приведём теперь решения задач из ЕГЭ, указывая год выпуска сборника вариантов для подготовки к ЕГЭ, из которого взята задача.
Заметим, что при решении задач на проценты лучше обходиться без пропорций, в чём можно убедиться, решив рассмотренные ниже задачи с помощью пропорций.
Начнём с задачи на «сухое вещество», чтобы повторить проценты.
Задача 2. (2018) Виноград содержит 90 % влаги, изюм — 5 %. Сколько килограммов винограда требуется для получения 98 кг изюма?
Решение. I способ.
1) 100 – 5 = 95 (%) — «сухого вещества» в изюме;
2) 98 * 0,95 = 93,1 (кг) — «сухого вещества» в 98 кг изюма;
3) 100 – 90 = 10 (%) — «сухого вещества» в винограде;
4) 93,1 : 0,1 = 931 (кг) — масса винограда.
II способ. Пусть надо взять x кг винограда, он содержит 100 – 90 = 10 (%) «сухого вещества», т. е. 0,1x кг. Изюм содержит 100 – 5 = 95 (%) «сухого вещества», т. е. 0,9 * 98 = 93,1 (кг). Составим уравнение:
0,1x = 93,1.
Его единственный корень 931. Надо взять 931 кг винограда.
Ответ. 931 кг.
Задача 3. Число увеличили на 10 %, полученное число ещё раз увеличили на 10 %. На сколько процентов увеличилось первоначальное число за два раза?
Здесь и далее неизвестное число, от которого находят проценты, будем обозначать буквой.
Задача 4. (2019) Одиннадцать одинаковых рубашек дешевле куртки на 1 %. На сколько процентов четырнадцать таких же рубашек дороже куртки?
Решение. Пусть r — цена рубашки, k — цена куртки (в руб.). Тогда верны равенства:
11r = k – 0,01k, 11r = 0,99k, r = 0,09k, 14r = 1,26k.
Последнее равенство означает, что 14 рубашек стоят k + 0,26k, то есть дороже куртки на 26 %.
Ответ. На 26 %.
Задача 5. (2019) Восемь одинаковых рубашек дешевле куртки на 2 %. На сколько процентов двенадцать таких же рубашек дороже куртки?
Решение. Используя те же обозначения, получим верные равенства:
8r = 0,98k, 4r = 0,49k, 12r = 1,47k.
Двенадцать рубашек дороже куртки на 47 %.
Ответ. На 47 %.
Задача 6. (2017) Три килограмма черешни стоят столько же, сколько пять килограммов вишни, а три килограмма вишни — столько же, сколько два килограмма клубники. На сколько процентов килограмм клубники дешевле килограмма черешни?
Решение. Выпишем в строчку одинаковые по стоимости массы ягод:
Если 1 кг черешни стоит a р., то 0,9 кг черешни стоит
0,9 a р. Столько же стоит 1 кг клубники. Тогда 1 кг клубники дешевле 1 кг черешни на 10 %.
Ответ. На 10 %.
Задача 7. (2019) Брюки дороже рубашки на 30 % и дешевле пиджака на
22 %. На сколько процентов рубашка дешевле пиджака?
Решение. Пусть брюки стоят b, рубашка r, пиджак p (в рублях). По условию задачи,
b = r + 0,3r = p – 0,22p,
откуда следует, что r = 0,6p = p – 0,4p.
Следовательно, рубашка дешевле пиджака на 40 %.
Ответ. На 40 %.
Задача 8. Зарплату сотрудника увеличили на несколько процентов. Через некоторое время эту новую зарплату увеличили на столько же процентов, как и в первый раз. На сколько процентов увеличили зарплату в первый раз, если за два раза она увеличилась на 44 %?
Следовательно, в первый раз зарплату увеличили на 20 %.
Ответ. На 20 %.
Задача 9. В четверг акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в пятницу подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 9 % дешевле, чем при открытии торгов в четверг. На сколько процентов подорожали акции компании в четверг?
Решение. Пусть a — цена каждой акции при открытии торгов в четверг (все цены в рублях). Пусть после торгов в четверг цена акции увеличилась на p %, акция стала стоить
Следовательно, в четверг акции компании подорожали на 30 %.
Ответ. На 30 %.
Задача 10. (2018) Семья состоит из мужа, жены и их дочери-студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась в 2 раза, то общий доход семьи вырос бы на 65 %. Если бы стипендия дочери уменьшилась в 2 раза, то общий доход семьи сократился бы на 1 %. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
Решение. Обозначим доходы в рублях мужа, жены и дочери m, g и d соответственно. По условиям задачи составим два равенства:
m = 0,65(m + g + d), (1)
0,5d = 0,01(m + g + d). (2)
Обе части равенства (2) не нули. Разделив равенство (1) на равенство (2), получим:
m : 0,5d = 65,
откуда следует, что m = 32,5d. Умножив равенство (2) на 2 и подставив в полученное равенство 32,5d вместо m, получим равенство:
d = 0,02(32,5d + g + d). (3)
Выразив g через d из равенства (3), получим: g = 16,5d. Тогда доход семьи равен m + g + d = 50d, а зарплата жены от общего дохода составляет
Ответ. 33 %.
Задачи для самостоятельного решения
11. (2019) Десять одинаковых рубашек дешевле куртки на 4 %. На сколько процентов пятнадцать таких же рубашек дороже куртки?
12. (2019) Девять одинаковых рубашек дешевле куртки на 7 %. На сколько процентов двенадцать таких же рубашек дороже куртки?
13. Брюки дороже рубашки на 20 % и дешевле пиджака на 46 %. На сколько процентов рубашка дешевле пиджака?
14. В понедельник цена акции увеличилась на 20 %, во вторник она увеличилась ещё на 30 %. На сколько процентов за эти два дня увеличилась цена акции?
15. (2017) В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 49 % дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?
16. Брюки дороже рубашки на 25 % и дешевле пиджака на 20 %. На сколько процентов рубашка дешевле пиджака?
17. В магазине костюм, состоящий из пиджака и брюк, стоит на 20 % дороже, чем такой же костюм на рынке, причем брюки стоят на 30 % дороже, чем на рынке, а пиджак — на 15 %. Во сколько раз на рынке брюки от этого костюма дешевле пиджака?
Ответы. 11. На 44 %. 12. На 24 %. 13. На 55 %. 14. На 56 %. 15. На 70 %. 16. На 36 %. 17. В 2 раза.
