12 867 subscribers

Что будет если мнимое число возвести в мнимую степень?

5,7k full reads

Что ни говори, математика - невероятная наука. Порою в ней находятся столь удивительные свойства, которые не поддаются логическому объяснению. Чего только стоит доказательство того, что сумма всех натуральных чисел равна -1/12...

Я бы хотел рассказать о другом интересном свойстве.

Что будет, если мнимое число возвести в мнимую степень?..

Что будет если мнимое число возвести в мнимую степень?

На первый взгляд, все это дело выглядит как самое что ни на есть мнимое число. Но на самом, еще в 1746 году Леонард Эйлер в письме Кристиану Гольдбаху доказал, что i в степени i - действительное число!

Эйлер доказал, что для любого угла θ, выраженного в радианах:

Что будет если мнимое число возвести в мнимую степень?

Если мы возьмем θ = π/2 радиан (т.е. θ = 90°), то формула Эйлера дает:

Что будет если мнимое число возвести в мнимую степень?

Из этого следует:

Что будет если мнимое число возвести в мнимую степень?

А, как видно, 0,2 - вполне реальное число! Более того, как и пи, i в степени i - трансцендентное число. Этот факт доказал в 1929 году 23-летний россиянин Александр Гельфонд.

На самом деле, как указал Эйлер, i в степени i не имеет единственного значения. Скорее, он принимает бесконечно много действительных значений. Угол, который i образует с действительной осью, может быть выражен как 2πk + π/2 для любого целого числа k. Таким образом, если рассуждать дальше:

Что будет если мнимое число возвести в мнимую степень?
Публикация создавалась в ознакомительно-познавательных целях.

Источник: https://divisbyzero.com/2019/03/13/the-most-imaginary-number-is-real/