49 622 subscribers

Аппроксимация, экстраполяция, интерполяция. Для чего они нужны и как в них не запутаться.

7,5k full reads

Начну данную статью с того, что расскажу о том, что в природе не найти графика из учебника. Температура не может изменяться чисто по прямой или синусоиде. У неё будет свой график, и соотнести его с какой-либо ранее известной функцией будет достаточно сложно (невозможно).

Например, реальный график уличной температуры будет выглядеть следующим образом:

График уличной температуры возле одного из объектов.
График уличной температуры возле одного из объектов.

Различные колебания могут быть связаны с порывами ветра, помехами на линии (тут цифровой датчик, потому маловероятно). Но суть в том, что график уличной температуры мы не можем представить в виде одной или нескольких функций уличной температуры. Как его строит техника? По точкам. То есть, с заданным интервалом времени мы снимаем показания с датчика температуры и просто соединяем их отрезками. Получится вот такая картина (тот же график, но масштаб изменен):

Аппроксимация, экстраполяция, интерполяция. Для чего они нужны и как в них не запутаться.

Судя по картинке, можно увидеть, что весь график непрерывен и состоит из разных отрезков, сцепленных воедино. Но при этом функция не гладкая и имеет приличный разброс по точкам. Такой разброс может быть обусловлен несколькими факторами: погрешность измерения, помехи на линии связи, порывы ветра. Поэтому мы его (набор точек) можем аппроксимировать и собрать более гладкую кривую.

То есть, через аппроксимацию я смогу построить более стабильную и гладкую функцию.

Синим выделены точки, красным прямая после аппроксимации.
Синим выделены точки, красным прямая после аппроксимации.

Вот еще пример аппроксимации:

Аппроксимация, экстраполяция, интерполяция. Для чего они нужны и как в них не запутаться.

Или еще пример.

Аппроксимация, экстраполяция, интерполяция. Для чего они нужны и как в них не запутаться.

Аппроксима́ция (от лат. proxima — ближайшая) или приближе́ние — научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в каком-то смысле близкими к исходным, но более простыми. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны).

А теперь идем дальше. Самое главное, что все эти графики интересны только человеку. Машина оперирует с ними совсем по другому. А именно, для неё есть массив данных, который мы рассматриваем в виде графиков - это всего лишь функция, построенная по точкам.

Итак, мы зафиксировали набор показаний и храним их в виде таблицы:

Аппроксимация, экстраполяция, интерполяция. Для чего они нужны и как в них не запутаться.

Компьютер будет хранить просто массив этих данных. Но нам удобней представлять их в виде графика. Например такого:

Аппроксимация, экстраполяция, интерполяция. Для чего они нужны и как в них не запутаться.

В данном случае мы построили достаточно простой график (отрезки по двум точкам). А бывают еще сплайны, кривые разных порядков и так далее. Зачем нам нужен график? А затем, что мы визуально воспринимаем, как изменяется температура, а кроме того, мы можем по нему рассчитать любые промежуточные значения - интерполировать значения.

Запишем эти уравнения прямых в таблице:

Аппроксимация, экстраполяция, интерполяция. Для чего они нужны и как в них не запутаться.

То есть, если нам нужно найти значение между точками по времени 2 и 3, например 2,5, мы используем уравнение прямой на этом отрезке.

Аппроксимация, экстраполяция, интерполяция. Для чего они нужны и как в них не запутаться.

На графике это будет выглядеть так:

Аппроксимация, экстраполяция, интерполяция. Для чего они нужны и как в них не запутаться.

Таким образом,

Интерполя́ция, интерполи́рование (от лат. inter–polis — «разглаженный, подновлённый, обновлённый; преобразованный») — в вычислительной математике нахождение неизвестных промежуточных значений некоторой функции по имеющемуся дискретному набору её известных значений.

Как видим, ничего сложного тут нет.

Ну а мы переходим к экстраполяции. Всё отличие её в том, что искомая точка лежит за пределами нашей таблицы. Например, до начала замеров или после их завершения.

Аппроксимация, экстраполяция, интерполяция. Для чего они нужны и как в них не запутаться.

Вся сложность будет в выборе формулы, по которой мы будем искать значение точки. Для этого существует масса математических способов. Но это уже другая тема для статьи.

Экстраполя́ция, экстраполи́рование (от лат. extrā — вне, снаружи, за, кроме и лат. polio — выправляю, изменяю[1]) —  — приближённое определение значений функции f ( x ) в точках x , лежащих вне отрезка [ x 0 , x n ] по её значениям в точках x 0 > x1
и xN > x n

Итак, с помощью аппроксимации мы находим функцию приближенным методом. С помощью интерполяции или экстраполяции находим значение нужных точек внутри таблицы или за её пределами.

Для каждого из методов существует несколько вариантов для решения задачи.

У меня всё, благодарю за внимание.

🌞 Группа ВК.

🌞 Телеграмм канал

🌞 YouTube канал.

👍👍 Буду признателен 👍👍