Сын не справился на пробном ОГЭ с геометрической задачей. Разбираем её дома

2,3k full reads

Условие задачи:

В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 16. Найдите стороны треугольника АВС.
Рисунок задачи
Рисунок задачи

Задача несложная, если мы знаем :

  • Свойства равнобедренного треугальника;
  • Свойства биссектрисы;
  • Признаки подобия треуголиников;
  • Умеем делать дополнительные построения;
  • Знаем теорему Пифагора.

Биссектриса и медиана треугольника АВС пересекаются в точке О под прямым углом. Рассмотрим треугольник ABD. Поскольку ВО является и биссектрисой, и высотой, то треугольник ABD — равнобедренный. Так как треугольник ABD равнобедренный, то ВО также является медианой. Следовательно АО=OD=8

Рассмотрим треугольник АВС. Так как AD его медиана, то CD=DB, а поскольку треугольник ABD равнобедренный, то AB=BD. Следовательно BC=2AB.

ВЕ биссектриса треугольника АВС, следовательно его стороны от

ВЕ биссектриса треугольника АВС, следовательно его стороны относятся как ЕС/АЕ=ВС/АВ=2. Отсюда получаем ЕС=2АЕ. Следовательно АС=АЕ+ЕС=3АЕ.ьно АС=АЕ+ЕС=3АЕ.

Достроим треугольник АВС до параллелограмма АВМС, где точка D — пересечения его диагоналей.

Сын не справился на пробном ОГЭ с геометрической задачей. Разбираем её дома

Рассмотрим треугольники АОЕ и ВОМ. Они подобны по двум углам. Следовательно ВО/ОЕ = ВМ/АЕ. Так как ВМ=АС, то ВО/ОЕ=3. То есть, если ОЕ=х, то ВО=3х.

Так как ОЕ+ВО=ВЕ=16, то х+3х=16; х=4. Следовательно ОЕ=4 и ВО=12.

Зная чему равно ВО, мы можем найти АВ и ВС, так как ВС=2АВ.

Из треугольника АВО по теореме Пифагора найдём чему равно АВ

Находим АВ и ВС
Находим АВ и ВС

Две стороны треугольника найдены. Осталась одна - АС.

Мы помним что АС=3АЕ. Находим АЕ по теореме Пифагора из треугольника АОЕ.

Находим АС
Находим АС

Все три стороны треугольника найдены

Три стороны треугольника найдены
Три стороны треугольника найдены