77 993 subscribers

Задача из американского теста. Нестандартная геометрическая задача, но российские школьники её решили

164k full reads
308k story viewsUnique page visitors
164k read the story to the endThat's 53% of the total page views
3,5 minutes — average reading time

В наших школьных учебниках таких задач не встретишь. Зато такие задачи встречаются под звездочками, на олимпиадах. Подобная задача была в каком-то американском сборнике тестов. Не знаю для кого предназначался этот тест, потому что не видел обложку. Поэтому мне сложно оценить уровень американских школьников (или студентов?), но российские школьники задачку решили. Хотя не все.

Попробуйте решить и вы. Надо найти площадь большого красного треугольника, в который вписаны три квадрата с известными площадями.

Площадь черных квадратов известна: 4, 36 и 9. Надо найти площадь красного треугольника.
Площадь черных квадратов известна: 4, 36 и 9. Надо найти площадь красного треугольника.
Площадь черных квадратов известна: 4, 36 и 9. Надо найти площадь красного треугольника.

Варианты ответов я вам давать не буду, ибо и не помню, какие варианты были в оригинале, и не вижу в этом особого смысла, я же оценку никому ставить не буду. Скажу лишь, что правильный ответ — 75. Если у вас получилось так же, поздравляю — в интеллектуальной схватке с американцем вы как минимум не хуже. Если нет, то посмотрите решение и помните, что проигранная схватка ещё не означает проигранную войну.

Решение

Сначала делаем самое очевидное — находим стороны квадратов: 2, 6 и 3 соответственно. Теперь смотрим на средний правый треугольничек, образованный сторонами большого и среднего квадратов, и на нижний правый. Я обвел их розовых и зеленым (правда, зеленый не очень похож на зеленый).

Задача из американского теста. Нестандартная геометрическая задача, но российские школьники её решили

Эти два маленьких треугольничка подобны по двум углам. И мало того, что они подобны, они ещё равны и равнобедренны. Длина равных бедер равна 3. Почему? Смотрите на рисунке выше, там все довольно подробно и четко нарисовано. Из всего этого мы делаем вывод, что правый нижний отрезок большого треугольника (от квадрата со стороной 3 до угла) равен трём.

Теперь перемещаемся к аналогичным треугольникам слева. Смотри рисунок ниже. Средний и нижний треугольники снова подобны. Но уже НЕ равны и НЕ равнобедренны. Коэффициент подобия этих треугольников k=2, а катеты соотносятся как 1:2. На рисунке ниже снова всё хорошо видно, поэтому не буду дополнительно пояснять, как мы получили, что левый отрезок (от угла до квадрата со стороной 2) равен единице.

Задача из американского теста. Нестандартная геометрическая задача, но российские школьники её решили

Теперь мы можем найти длину нижней стороны большого красного треугольника, но об этом ниже. А сейчас посмотрим на ещё один треугольник, который образовался над большим квадратом.

Задача из американского теста. Нестандартная геометрическая задача, но российские школьники её решили

Поделим этот треугольник на два прямоугольных треугольника: оранжевый и белый. Оранжевый будет подобен нижним левым треугольничкам (катеты относятся друг другу как 1:2), а белый — правым (то есть он равнобедренный).

Обозначим меньший катет оранжевого треугольника за Х, тогда бОльший будет равен 2Х. Так как катет 2Х у оранжевого и белого треугольников общий, получается, что и второй катет белого треугольника тоже равен 2Х.

Составим уравнение, чтобы найти Х: Х+2Х=6; Х=2. Теперь нам открывается общая картина и несложно найти площадь большого красного треугольника.

Задача из американского теста. Нестандартная геометрическая задача, но российские школьники её решили

Площадь треугольника — это полупроизведение высоты на основание. Основание равно 1+2+6+3+3=15. А высота складывается из стороны большого квадрата и катета 2Х верхнего оранжевого треугольничка: H=6+4=10. Площадь треугольника в таком случае равна 15•10:2=75.

Вот и вся задачка. Как вам? Мне понравилась. Не сказать, что сложная, но нестандартная, хорошо подходит для того, чтобы разнообразить задачки из учебника и размять мозг.

И прошу проголосовать:

Ещё интересно: Геометрическая головоломка от учителя математики из Кембриджа, которую наши 11-классники решили на раз-два

"Не так просто, как кажется" — белорусская задача для 4 класса, которая поставила родителей в тупик

Найди площадь синей заштрихованной фигуры. Геометрическая задача на устный счет за 30 секунд