33 339 subscribers

Одна из самых красивых формул тригонометрии. 99% её никогда не видели

13k full reads
22k story viewsUnique page visitors
13k read the story to the endThat's 57% of the total page views
1,5 minute — average reading time

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Какие тригонометрические формулы всегда на слуху, и в то же время блещут своей красотой? Даже искушенный Читатель в первую очередь назовёт формулу Муавра, которая позволяет нам с легкостью возводить в степень комплексные числа:

Одна из самых красивых формул тригонометрии. 99% её никогда не видели
Так же можно вспомнить основное тригонометрическое тождество, куда же без него...

Можно, конечно, вспомнить еще и тригонометрические теоремы из геометрии, например, теорему тангенсов или теорему косинусов для четырехугольника, но это всё не то.

Этого импозантного мужчину зовут Бартомелиус Питискус - именно он предложит называть предмет сегодняшнего обсуждения "тригонометрией". Источник: http://pppre.s3.amazonaws.com/3374793288e5880f/b/3424b33a49aa440cb36e3747446afe94.jpg
Этого импозантного мужчину зовут Бартомелиус Питискус - именно он предложит называть предмет сегодняшнего обсуждения "тригонометрией". Источник: http://pppre.s3.amazonaws.com/3374793288e5880f/b/3424b33a49aa440cb36e3747446afe94.jpg
Этого импозантного мужчину зовут Бартомелиус Питискус - именно он предложит называть предмет сегодняшнего обсуждения "тригонометрией". Источник: http://pppre.s3.amazonaws.com/3374793288e5880f/b/3424b33a49aa440cb36e3747446afe94.jpg

Сегодня я покажу истинную и удивительную красоту, с помощью которой очень просто решаются, в т.ч., и серьезные олимпиадные задачи.

Но сначала нам необходимо заметить некую закономерность в знакомых нам со школы формулах. Итак, надеюсь, все помнят формулу синуса двойного угла:

Одна из самых красивых формул тригонометрии. 99% её никогда не видели
Единственный новый момент заключается, что по мы представим косинус по формулам приведения, как синус.

Продолжаем. Записываем теперь формулу синуса тройного угла:

Одна из самых красивых формул тригонометрии. 99% её никогда не видели

Во второй строчке избавляемся от квадрата синуса, но неизбежно получаем косинус двойного угла. Между тем, напомню, что мы всё так же пытаемся избавиться от косинусов в итоговой формуле.

Одна из самых красивых формул тригонометрии. 99% её никогда не видели
Ответ приходит неожиданно: а что, если представить в тригонометрическом виде число -1/2? Сказано - сделано:
Одна из самых красивых формул тригонометрии. 99% её никогда не видели

Скобки в правой части принимают вид формулы разности косинусов:

Одна из самых красивых формул тригонометрии. 99% её никогда не видели

После первой итерации преобразований получаем:

Одна из самых красивых формул тригонометрии. 99% её никогда не видели

Осталось сделать кое-что еще: воспользоваться базовым свойством синуса:

Одна из самых красивых формул тригонометрии. 99% её никогда не видели

В итоге получаем формулу синуса тройного угла, выраженную только через синусы одиночного аргумента:

Одна из самых красивых формул тригонометрии. 99% её никогда не видели

И так далее...можно продолжить вычисления для четверного угла, но это будет уже немного объемнее. Тем не менее, результат будет именно такой, как и ожидается:

Одна из самых красивых формул тригонометрии. 99% её никогда не видели

Тенденция при увеличении кратности углов не изменится. С помощью метода математической индукции, можно вывести итоговую формулу, в красоте которой просто грех сомневаться:

Одна из самых красивых формул тригонометрии. 99% её никогда не видели

Надеюсь, что Вас, как и меня искренне восхитила эта формула. В следующих выпусках я покажу, как с её помощью решаются достаточно сложные олимпиадные задачи. Спасибо за внимание!

Читайте также: